(Comment) Pourrions-nous découvrir / analyser des problèmes NP en l'absence du modèle de calcul de Turing?

D'un point de vue purement abstrait de raisonnement mathématique / informatique, (comment) pourrait-on même découvrir ou raisonner sur des problèmes comme 3-SAT, Subset Sum, Travelling Salesman, etc.? Serions - nous encore en mesure de raisonner sur eux de quelque façon significative avec juste la fonction point de vue? Serait-ce même possible?

J'ai réfléchi à cette question uniquement à partir d'un point d'auto-enquête dans le cadre de l'apprentissage du modèle de calcul lambda de calcul. Je comprends que c'est "non intuitif" et c'est pourquoi Godel a privilégié le modèle Turing. Cependant, je voudrais juste savoir quelles sont les limites théoriques connues de cette fonctionnalité style de calcul et combien un obstacle serait - il pour l' analyse de la classe NP des problèmes?

Vous voudrez peut-être examiner la sémantique des coûts pour les langages fonctionnels . Ce sont diverses mesures de complexité de calcul pour les langages fonctionnels qui ne pas passent par une sorte de machine de Turing, machine RAM, etc. Un bon endroit pour commencer la recherche est ce Lambda le poste ultime , qui a quelques bonnes références supplémentaires.

La section 7.4 des Fondements pratiques de Bob Harper pour les langages de programmation explique la sémantique des coûts.

L'article sur l'utilité relative des boules de feu par Accattoli et Coen montre que -calculus a au plus une explosion linéaire par rapport au modèle de machine RAM.$\lambda$

En résumé, sur cette autre planète, les choses seraient à peu près les mêmes en ce qui concerne le NP, mais il y aurait moins de débordements de tampon et il n'y aurait pas autant de déchets qui traînent.

À la demande d'Andrej et de PhD, je transforme mon commentaire en réponse, avec des excuses pour l'auto-publicité.

J'ai récemment écrit un article dans lequel je regarde comment prouver le théorème de Cook-Levin ( complétude P de SAT) en utilisant un langage fonctionnel (une variante du λ-calcul) au lieu des machines de Turing. Un résumé:$\mathsf{NP}$

• la notion clé est celle d'approximations affines, c'est-à-dire d'approximation de programmes arbitraires par des programmes affines (qui peuvent utiliser leurs entrées au plus une fois); l'intuition est que $$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$ si termes se rapprochent bien des calculs arbitraires, tout comme les circuits booléens;$\lambda$
• le résultat est que, dans le monde λ -calculus, la preuve est beaucoup "de niveau supérieur", elle utilise la théorie de l'ordre, la continuité de Scott, etc. au lieu de pirater les circuits booléens; en particulier, le slogan "le calcul est local" (qui est donné par beaucoup comme le message sous-jacent au théorème de Cook-Levin) devient "le calcul est continu", comme prévu;$\lambda$
• cependant, le N "naturel" problème -complete est pas CIRCUIT SAT mais HO CIRCUIT SAT, une sorte de « solvabilité » de X-termes linéaires ou, plus précisément,filets linéaires de preuve logique (qui sont commecircuits booléennes d'ordre supérieur) ;$\mathsf{NP}$
• bien sûr, on peut alors réduire HO CIRCUIT SAT en CIRCUIT SAT, prouvant ainsi le théorème de Cook-Levin habituel, et les détails sanglants de bas niveau sont tous déplacés pour construire une telle réduction.

$\mathsf{NP}$ - problème complet.

$\lambda$$\lambda$ -calculus que j'utilise dans mon article.

$\mathsf{NP}$ complétude sans machines de Turing?

$\lambda$ calcul , les choses sont beaucoup moins évidentes: les modèles de coût du temps comme ceux mentionnés par Andrej et donnés dans le livre de Harper datent du milieu des années 90, les modèles de coût d'espace sont encore presque inexistants (je connais essentiellement un ouvrage publié en 2008 ).

$\lambda$ termes et, 30 à 50 ans plus tard, les gens commencent à adapter leur travail à Turing Machines.

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\lambda$, peu importe si vous savez que vos intuitions sont saines. Les machines de Turing ont donné une réponse immédiate et réalisable, et les gens n'ont pas (et ne ressentent toujours pas) le besoin d'aller plus loin.