Correspondance de motifs avec indifférence: plusieurs motifs

Le papier SODA de 2 pages de Kalai fournit un algorithme simple et efficace pour la correspondance de motifs avec les soucis (jokers qui correspondent à un caractère). En substance, c'est aussi simple que la convolution.

Mais que se passe-t-il si nous recherchons plusieurs modèles sans souci? Peut-on encore le résoudre d'une manière ou d'une autre avec, par exemple, des techniques basées sur la FFT?

Pour le cas à motifs multiples, il semble que le simple balayage de chacun des soit la meilleure solution possible, du moins à moins que l'hypothèse forte du temps exponentiel échoue.

Rappelons que pour des ensembles donnés et T 1 , T 2 , … , T n sur l'univers [ m ] , si nous pouvions décider s'il y a S i et T j tels que S i ∪ T j = [ m ] dans le temps O ( n 2 - ε poly ( m ) $S_1, S_2, \dotsc, S_n$$T_1, T_2, \dotsc, T_n$$[m]$$S_i$$T_j$$S_i \cup T_j = [m]$$O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$, alors SETH échoue, c'est-à-dire que nous avons un algorithme CNF-SAT avec le temps d'exécution .$O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$

Étant donné les ensembles et T 1 , T 2 , … , T n , nous codons le problème ci-dessus comme une correspondance multi-motifs avec ne se soucie pas de l'alphabet binaire comme suit:$S_1, S_2, \dotsc, S_n$$T_1, T_2, \dotsc, T_n$

• Le texte est où [ T i ] est le codage naturel de T i en tant que chaîne binaire. $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ $[T_i]$$T_i$
• Nous avons motifs de formule 1 ⟨ S i ⟩ 1 , où ⟨ S i ⟩ est une chaîne y = y 1 y 2 ... y m de telle sorte que y j = 1 si j ∉ S i et y j = * si j ∈ S i (ici ∗ est le symbole «indifférent»).$n$$1\langle S_i \rangle 1$$\langle S_i \rangle$$y = y_1y_2\dots y_m$$y_j = 1$$j \notin S_i$$y_j = *$$j \in S_i$$*$

Maintenant , il est clair qu'un modèle peut correspondre au texte lors d' une occurrence de 1 [ T j ] 1 , et que lorsque S i ∪ T j = [ m ] . La longueur totale des motifs et la longueur du texte sont toutes les deux O ( n m ) , par exemple, donc un algorithme à passage unique quasi linéaire pour plusieurs motifs donnerait des améliorations substantielles par rapport aux meilleurs algorithmes CNF-SAT connus ...$1\langle S_i \rangle 1$$1[T_j]1$$S_i \cup T_j = [m]$$O(nm)$

(Notez que cela ne dit rien sur les algorithmes qui utilisent beaucoup de temps pour prétraiter les modèles, disons quadratiques dans la longueur totale des modèles.)