EXP-Complete Problems vs Subexponential Algorithms

Le fait qu'un problème soit EXP-temps complet implique-t-il que n'est pas en ? $A$ $A$ $DTIME(2^{o(n)})$

Je sais que d'après le théorème de la hiérarchie temporelle, n'est pas inclus dans . Néanmoins, cela ne semble pas exclure immédiatement l'existence d'algorithmes de temps sous-exponentiels pour chaque problème EXP-complet , car lors de la réduction d'une instance d'un problème à une instance y du problème , nous pouvons avoir un polynôme exploser en taille. En d'autres termes, . $EXP=DTIME(2^{n^{O(1)}})$ $E=DTIME(2^{O(n)})$ $A$ $x$ $B\in EXP$ $A$ $|y|=|x|^{O(1)}$

Ma question est donc de savoir s'il existe un argument qui exclut, sans condition, l'existence d'algorithmes temporels sous-exponentiels pour les problèmes EXP-complets.

exp-time-algorithms complexity

— vérification
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Au contraire, un argument de remplissage trivial montre que pour chaque , il existe des problèmes EXP-complete calculables dans le temps .

ϵ > 0

$\epsilon>0$

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^\epsilon}$

— Emil Jeřábek du

@ EmilJeřábek Merci. Je suppose que votre commentaire est la réponse que je cherchais. Pourriez-vous s'il vous plaît le développer en une réponse?

— vérification du

En raison de la demande populaire, je convertis mon commentaire en réponse.

Un argument de remplissage simple montre que pour chaque constante , il existe des problèmes EXP-complete dans . En effet, corrige un problème arbitraire EXP-complet , et supposons qu'il est calculable dans le temps . Soit , et considérons le problème D'une part, est un temps polynomial réductible à via la fonction , donc est EXP-hard. $\epsilon>0$ $\mathrm{DTIME}(2^{n^\epsilon})$ $L$ $2^{n^c}$ $d>c/\epsilon$

L^{'} = {0^{m} # w : w \in L, m \geq | w |^{d}} .

$L'=\left\{0^m\#w:w\in L,m\ge|w|^d\right\}.$

L

$L$

^{†}

${}^\dagger$

L^{'}

$L'$

w \mapsto 0^{| w |^{d}} # w

$w\mapsto0^{|w|^d}\#w$

L^{'}

$L'$

Par contre, est calculable en temps : étant donné une entrée de taille , on vérifie d'abord (en temps polynomial) qu'elle est de la forme pour , où. On vérifie ensuite si , ce qui prend du temps . $L'$ $2^{n^\epsilon}$ $n$ $0^m\#w$ $m\ge n'^d$ $n'=|w|$ $w\in L$ $2^{n'^c}\le2^{m^{c/d}}\le2^{m^\epsilon}\le2^{n^\epsilon}$

${}^\dagger$ En fait, la réduction telle qu'elle est donnée est même uniforme , et elle peut être rendue DLogTime si nous remplaçonsavec une limite supérieure qui est une puissance de deux. $\mathrm{AC}^0$ $|w|$

— Emil Jeřábek
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