Référence pour une classe de graphiques qui préservent les distances des sous-graphiques lors de la commande

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Disons qu'un graphe a la propriété si ses sommets peuvent être ordonnés de telle sorte que le graphe induit par les sommets a pour tout . En d'autres termes, l'ajout du sommet suivant dans notre classement n'affecte pas la métrique de distance du graphique actuel. $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

Un exemple d'un tel graphique est la grille régulière . $n \times n$

Cette propriété ou classe de graphiques a-t-elle un nom? Ont-ils été étudiés?

reference-request graph-theory

— Michigan
source

Un exemple simple d'un graphe qui n'a pas cette propriété est le -cycle pour . En effet, pour tout ordre, les sous-graphes doivent être connectés, et donc au temps , est une ligne de longueur , et donc deux sommets sont distance apart.

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— Andrew Morgan

D'un autre côté, un candidat naturel pour trouver un bon ordre est de faire un BFS à partir d'un choix arbitraire de . En visualisant comme l'arbre BFS avec des bords supplémentaires, il semble que le seul obstacle à avoir la propriété est pour qu'il y ait quelque chose « comme » un -cycle pour dans . Par "j'aime" je veux dire qu'il y a un cycle avec sorte quedans . Si nous appelons un tel cycle "minimal", alors est-il vrai que la propriété

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$ équivaut à la non-existence de cycles minimaux de longueur d'au moins 5?

— Andrew Morgan

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Un cube a un cycle induit et isométrique à 6 cycles (supprimez deux sommets opposés du cube; ce qui reste est le cycle 6) mais peut être commandé de manière à préserver la distance (par exemple BFS). Vos cycles ne sont donc pas toujours des obstacles. Cet exemple montre également que la suppression gourmande de sommets qui préservent les distances peut rester bloquée, même lorsque certains autres ordres fonctionnent.

k

$k$

— David Eppstein

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Il semblerait que vous posiez des questions sur les graphiques admettant un ordre d'élimination préservant la distance qui forme une classe de graphiques étudiée dans cet article:

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— JimN
source

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Également disponible gratuitement sur la page Web de l'auteur: lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— Florent Foucaud

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Je n'ai pas de réponse pour toute votre classe de graphiques, mais trois sous-classes de graphiques qui ont cette propriété sont les graphiques héréditaires à distance , les graphiques en accords et les graphiques médians .

Les graphes héréditaires de distance sont définis par la propriété que chaque sous-graphe induit connecté a les mêmes distances. Vous pouvez donc choisir un sommet de départ arbitraire , puis choisir chaque sommet successif comme étant un sommet non déjà choisi adjacent à un sommet précédemment choisi. $v_1$

Les graphiques en accords sont les graphiques qui ont un ordre avec la propriété que chaque sommet successif, une fois ajouté, a une clique pour ses voisins. Cet ordre préserve évidemment la distance.

De même, les graphiques médians (y compris votre exemple de grille) ont la propriété que, pour tout ordre de largeur en premier, chaque sommet a un voisinage d'hypercube au moment de son ajout. (Voir pages 76–77 d'Eppstein et al, "Media Theory", Springer, 2008). Encore une fois, cette propriété signifie que l'addition ne peut pas modifier les distances entre les sommets précédents.

Il y a une classe de graphes pour laquelle je ne connais pas de nom, généralisant à la fois les graphes cordaux et héréditaires à distance, qui peuvent être reconnus en temps polynomial et qui ont votre propriété. Ce sont les graphiques connectés qui peuvent être construits à partir d'un seul sommet en ajoutant des sommets un par un, où les voisins de chaque nouveau sommet sont un sous-ensemble de l'un des voisinages fermés du graphique précédent. Ils sont presque (mais pas tout à fait) les mêmes que les graphiques démontables, la différence étant que le nouveau sommet n'a pas à être adjacent au sommet dont le voisinage est copié. Un ordre d'élimination d'un graphique en accords est une construction de ce type où chaque nouveau sommet choisit un sous-ensemble de cliques d'un voisinage. De même, les graphes héréditaires à distance ont une construction de ce type où les voisins de chaque nouveau sommet sont un voisinage fermé complet, un voisinage ouvert ou un seul sommet. Chaque nouveau sommet ne peut pas modifier les distances des sommets précédents, donc cette séquence de construction a la propriété que vous recherchez.

Si vous définissez un sommet v comme "amovible" s'il peut être le dernier de cette séquence (il a un voisinage ouvert qui est un sous-ensemble du voisinage fermé de quelqu'un d'autre), la suppression d'autres sommets amovibles ne change pas la possibilité de suppression de v : si le voisinage de v est un sous-ensemble de u et que nous supprimons u comme ayant un voisinage qui est un sous-ensemble de w, alors v est toujours amovible car son voisinage est toujours un sous-ensemble de w. Par conséquent, les séquences d'étapes de suppression que nous pouvons suivre pour ramener un graphique à rien forment un antimatroïde, et une telle séquence peut être trouvée en temps polynomial par un algorithme gourmand qui supprime à plusieurs reprises un sommet amovible chaque fois qu'il peut en trouver un. Inverser la sortie de cet algorithme donne la séquence de construction pour le graphique donné. Le graphique du cube donne un exemple de graphique qui a votre propriété (un graphique médian) mais n'est pas constructible de cette façon. Je pense que les graphiques médians qui peuvent être construits de cette manière sont exactement les graphiques carrés (qui incluent les grilles régulières). Les graphiques qui ont une séquence de construction de ce type incluent également tous les graphiques qui ont un sommet universel, tels que les graphiques de roue , donc (contrairement aux graphiques en accords et aux graphiques héréditaires de distance), ils ne sont pas parfaits et ne sont pas fermés sous les sous-graphiques induits.

— David Eppstein
source

la propriété de cette classe de graphes dont vous n'êtes pas sûr rappelle un ordre d'élimination de domination. Ce document semble pertinent par rapport à la question initiale: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/…

— JimN

Je pense que l'ordre d'élimination de dominatlon peut être le même que celui de dlsmantlability. Mais vous devez lier ce document dans une réponse réelle, car son "ordre d'élimination préservant la distance" semble être exactement ce que la question initiale demande.

— David Eppstein