Correspondance de poids maximale et fonctions sous-modulaires

Étant donné un graphique bipartite avec des poids positifs, soit avec égal au poids maximum correspondant dans le graphique . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

Est-il vrai que est une fonction sous-modulaire? $f$

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
source

Qu'est-ce que tu penses? Avez-vous essayé de le prouver / réfuter?

— Yuval Filmus

Intuitivement, il semble que cela devrait être vrai, mais je n'ai pas pu le prouver. Je pense aussi que si c'est vrai, ce devrait être un résultat bien connu mais je n'ai pas pu trouver de référence.

— George Octavian Rabanca

Cela est vrai pour le cas non pondéré, car il peut être réduit à des coupes min. Ce n'est pas évident de prouver la version pondérée ...

— Chao Xu

Considérons

K_{2, 2}

$K_{2,2}$ avec les poids de bord 1,1,1,2.

— András Salamon

@ AndrásSalamon Il semble qu'à la dernière étape, vous supposiez que

est additif, ce qui n'est pas vrai. La correspondance maximale de

peut utiliser des sommets qui ont déjà été utilisés à la fois par correspondance de

. J'en ai une preuve maintenant, mais je suis définitivement plus impliqué que cela.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca

Définition . Pour un ensemble fini , une fonction d'ensemble est sous-modulaire si pour tout elle soutient que: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lemme Étant donné un graphe biparti avec des poids de bord positifs, soit la fonction qui mappe à la valeur de la pondération maximale correspondant dans . Alors est submodulaire. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Preuve. Fixons deux ensembles et soit et deux correspondances pour les graphiques et respectivement. Pour prouver le lemme suffit à montrer qu'il est possible de partitionner les arêtes de et en deux appariements disjoints et $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ pour les graphes et respectivement. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Les bords de et forment un ensemble de chemins et de cycles alternés. Soit représentent cette collection et observer qu'aucun cycle contient des sommets de ou . Cela est car ne correspond pas à ces sommets. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Soit l'ensemble des chemins de avec au moins un sommet en et soit l'ensemble des chemins de avec au moins un sommet en . Deux de ces chemins sont illustrés dans la figure ci-dessous. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Revendication 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Supposons par contradiction qu'il existe un chemin . Laissez - un sommet dans sur le chemin et laisser la même manière être un sommet dans sur le chemin . Observez que , puisque ni ni appartiennent à , ils ne appartiennent pas à la mise en correspondance par définition, et par conséquent , ils sont les extrémités du chemin . De plus, étant donné que et $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ sont en , le chemin a une longueur paire et puisqu'il s'agit d'un chemin alternatif, soit le premier soit le dernier bord appartient à . Par conséquent, correspond à ou à , ce qui contredit la définition et prouve l'affirmation. $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Soit et Il est clair que

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ et

. Pour prouver le théorème, il reste à montrer que

sont des correspondances valides pour

respectivement. Pour voir que

est une correspondance valide pour

observons d'abord qu'aucun sommet de

ne correspond à

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

puisque

ne coupe pas

selon la revendication 1, et

ne coupe pas

par définition. , Donc

utilise uniquementsommets de

. Deuxièmement, observez que chaque sommet

correspond à au plus une arête de

car sinon

appartient à deux arêtes de

ou à deux arêtes de

, ce qui contredit la définition. Cela prouve que

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ est une correspondance valide pour

; montrant que

est une correspondance valide pour

est similaire.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
source

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$