Complexité du comptage de tous les sous-graphiques connectés

Soit G un graphe connecté.

Quelle est la complexité du comptage de tous les sous - graphiques connectés si G est des types suivants?

G est général.

G est plan.

G est bipartite.

Je ne me soucie pas des structures ou ..., il suffit de compter tous les sous-graphiques connectés! Je suis également intéressé par la complexité de compter tous les sous-graphes connectés avec exactement k nœuds en G.

Les pointeurs vers des articles et des livres sont également les bienvenus!

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— marjoonjan
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Savez-vous que la liste de la question n'est pas formatée correctement? meta.cstheory.stackexchange.com/questions/300/… Si vous ne vous souciez pas du formatage, c'est bien. Mais je ne sais pas si quelqu'un veut passer du temps pour répondre à votre question alors que vous ne voulez pas passer du temps à formater correctement votre question. (Je ne dis pas que je connais la réponse.)

— Tsuyoshi Ito

En outre, vous souciez-vous d'énumérer les sous-graphiques connectés de taille / ordre / structure / ... arbitraires, ou souhaitez-vous qu'ils s'étendent, ou autre chose?

— Anthony Labarre

Il semble y avoir du travail sur le comptage des sous-graphiques étendus connectés . La page 32 du «polynôme multivarié de Tutte» de Sokal relie le polynôme sous-graphique couvrant au polynôme de fiabilité qui a une énorme littérature

— Yaroslav Bulatov

Je suis désolé, ma réponse précédente sur l'utilisation du théorème de Kirchhoff était erronée. J'ai pensé à un argument d'inclusion-exclusion, mais cela pourrait être irréalisable.

— didest

Ce document n'est pas exactement ce que vous avez demandé, mais le document et ses références peuvent aider à développer certaines idées.

— MS Dousti

Réponses:

Welsh déclare que le problème # P-complet même dans le cas le plus restreint (en comptant le nombre de sous-graphes connectés d'un graphe biparti plan). Voir le bas de la page 305 dans Welsh, Dominic (1997), "Approximate Counting", Surveys in Combinatorics , Bailey, RA, éd., Cambridge University Press, pp. 287–324.

Dans le contexte, cependant, je me demande s'il veut vraiment dire des sous-graphiques étendus connectés. Et cela m'amène à me demander quelle version du problème vous voulez: des sous-graphiques étendus connectés, des sous-graphiques connectés qui n'ont pas besoin d'être étendus, ou des sous-graphiques induits connectés?

— David Eppstein
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Ceci est une réponse à la réponse de David. Sans avoir encore regardé ce livre, je suppose que le problème est de compter les sous-graphiques étendus connectés, car il s'agit du point x = 1 y = 2 du polynôme de Tutte, et l'auteur était intéressé par cela. Mais en fait, je pense que ces trois problèmes se réduisent assez facilement à compter le problème de sous-graphe couvrant connecté. Les réductions suivantes devraient fonctionner pour le comptage exact ou l'approximation, bien que je pense que le problème d'approximation est toujours ouvert.

$K_A$ $A$

$\#P$

— Colin McQuillan
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Vous n'avez pas besoin d'attacher une clique, non? Vous pouvez attacher tout ce qui a beaucoup de sous-graphiques connectés, tant que vous attachez la même chose à chaque sommet. Vous pouvez donc effectuer ces réductions tout en préservant à la fois la planarité et la bipartité.

— David Eppstein