Existe-t-il des représentations descriptives de la complexité des classes de complexité quantique?

Le titre en dit plus ou moins, mais je suppose que je pourrais ajouter un peu de contexte et quelques exemples spécifiques qui m'intéressent.

Les théoriciens de la complexité descriptive, tels que Immerman et Fagin, ont caractérisé la plupart des classes de complexité les plus connues à l'aide de la logique. Par exemple, NP peut être caractérisé par des requêtes existentielles de second ordre; P peut être caractérisé par des requêtes de premier ordre avec un opérateur de point le moins fixe ajouté.

Ma question est la suivante: y a-t-il eu des tentatives, particulièrement réussies, pour arriver à de telles représentations pour les classes de complexité quantique, telles que BQP ou NQP? Sinon, pourquoi pas?

Je vous remercie.

Mise à jour (modérateur) : cette question est complètement répondue par ce post sur mathoverflow .

Je pense que la réponse de Robins à ma question sur MO répond également à celle-ci.

Une complexité descriptive caractérisation d'une classe de complexité donne un langage dont les requêtes ( par exemple les formules) sont exactement les fonctions calculables en . La syntaxe de la langue est généralement très simple, c'est-à-dire, étant donné une chaîne il est facile de vérifier si est une requête bien formée de la langue, au moins elle devrait être décidable (mais généralement, la vérification de la syntaxe peut être effectuée dans un petite classe de complexité). Cela impliquerait enumerablity efficace des problèmes dans la classe et donnerait une caractérisation syntaxique pour . (Si la complexité de la vérification de la syntaxe est faible, cela peut également impliquer l'existence d'un problème complet pour la classe.)C q q C $C$$C$$q$$q$$C$$C$

Dans les commentaires ci-dessus, Robin a lié à l'article de Kord Eickmeyer et Martin Grohe " Randomization and Derandomization in Descriptive Complexity Theory " qui donne une caractérisation de "complexité descriptive" du . Les auteurs eux-mêmes notent dans l'introduction que cela est différent de ce que l'on entend généralement par une caractérisation de la complexité descriptive:$BPP$

Nous prouvons que , la version probabiliste de la logique à virgule fixe avec comptage, capture la classe de complexité , même sur des structures non ordonnées. Pour les structures ordonnées, ce résultat est une conséquence directe du théorème d'Immerman-Vardi [7, 8], et pour les structures arbitraires, il résulte de l'observation que nous pouvons définir un ordre aléatoire avec une probabilité élevée dans BPIFP + C. Pourtant, le résultat est surprenant à première vue en raison de sa similitude avec la question ouverte de savoir s'il existe une logique capturant , et parce que l'on pense que . La mise en garde est que la logiqueB P P P P = B P P B P I F P + C P B P I F P + C B P P B P P $BPIFP+C$$BPP$$P$$P = BPP$ $BPIFP+C$ne dispose pas d' une définition efficace et la syntaxe est donc pas une « logique » , selon des Gurevich [9] qui sous - tend la question pour une logique qui capture . $P$Néanmoins, nous pensons que donne une description tout à fait adéquate de la classe de complexité , car la définition de est également intrinsèquement inefficace (contrairement à la définition de en termes de l'ensemble décidable de machines de Turing à synchronisation polynomiale).$BPIFP+C$$BPP$$BPP$$P$

Je ne suis pas un expert en théorie des modèles finis / complexité descriptive (et j'aimerais personnellement entendre plus d'experts), mais mon sentiment est qu'il y a un peu de tricherie ici en disant qu'il s'agit d'une caractérisation de la complexité descriptive. La raison de mon sentiment est que si nous sommes autorisés à avoir une syntaxe non efficace, nous pouvons utiliser des restrictions sémantiques arbitraires pour restreindre la classe des requêtes bien formées et pouvons donner une caractérisation de "complexité descriptive" pour n'importe quelle classe de complexité. Par exemple, considérez (qui capture ), puis prenez exactement les requêtes qui sont calculables dans ; ou considérez le langage qui a un symbole de fonction pour chaque machine dans . Ces deux capturentP S p a c e B Q P B Q P B Q $SO(TC)$$PSpace$$BQP$$BQP$$BQP$ mais n'ont pas de syntaxe efficace.

Gurevich, en formulant la conjecture sur une logique qui pourrait capturer exige que la logique soit calculable de deux manières: (1) l'ensemble des phrases pouvant être obtenues légalement à partir du vocabulaire doit être calculable, étant donné ; et (2) la relation de satisfiabilité doit être calculable à partir de , c'est-à-dire des paires ordonnées constituées d'une structure finie et d'une phrase telles que tous les modèles isomorphes à satisfassent . Aussi, de manière significative pour la comparaison avec ce résultat logique aléatoire, le vocabulaire σ σ σ M φ M φ σ R 1 , R 2 , $\mathsf{P}$$\sigma$$\sigma$$\sigma$$M$$\varphi$$M$$\varphi$$\sigma$doit être fini. (Un vocabulaire est un ensemble de symboles constants et de symboles de relation, par exemple, signe égal, signe inférieur à, ) Ceci est une paraphrase de la définition 1.14 de cet article de Gurevich , qui est la référence [9] dans la citation que Kaveh a donnée.$R_1,R_2,\ldots$

L'article sur le BPP et la logique randomisée présente un cadre significativement différent. Il commence par un vocabulaire fini , puis considère un espace de probabilité de tous les vocabulaires qui étendent avec un vocabulaire disjoint . Donc une formule est satisfiable dans la nouvelle logique randomisée si elle est satisfiable dans des logiques "suffisantes" basées sur des extensions de par différentsσ ρ σ $\sigma$$\sigma$$\rho$$\sigma$$\rho$. Ceci est ma boucherie de la définition 1 dans l'article d'Eickmeyer-Grohe lié à Robin Kothari. En particulier, le vocabulaire n'est pas fini (enfin, chaque vocabulaire l'est, mais nous devons considérer une infinité de vocabulaires distincts), l'ensemble des phrases de cette logique est indécidable et la notion de satisfiabilité est différente de celle avancée par Gurevich .