Existe-t-il une fonction de hachage pour une collection (c'est-à-dire plusieurs ensembles) d'entiers présentant de bonnes garanties théoriques?

Je suis curieux de savoir s'il existe un moyen de stocker un hachage d'un ensemble multiple d'entiers possédant les propriétés suivantes, idéalement:

1. Il utilise O (1) espace
2. Il peut être mis à jour pour refléter une insertion ou une suppression dans le temps O (1)
3. Deux collections identiques (c.-à-d. Des collections contenant les mêmes éléments avec les mêmes multiplicités) doivent toujours avoir la même valeur et deux collections distinctes doivent avoir des valeurs différentes avec une probabilité élevée (c.-à-d. Que la fonction est indépendante ou indépendante par paire).

Une première tentative consisterait à stocker le produit modulo de manière aléatoire au sein des hachages des éléments individuels. Cela satisfait 1 et 2, mais il n'est pas clair si cela, ou une variante proche, satisferait 3.

J'ai initialement posté ceci sur StackOverflow .

* Les propriétés 1 et 2 pourraient être légèrement assouplies, par exemple, sur O (log n) ou sur un petit polynôme sous-linéaire. Le but est de voir si nous pouvons identifier plusieurs ensembles et tester de manière fiable l’égalité sans stocker les éléments eux-mêmes.

Si vous pensez que des ensembles vivent dans l’univers , il est assez facile de résoudre votre problème avec le temps de mise à jour de . Tout ce dont vous avez besoin est une fonction de hachage rapide pour un vecteur de nombres , avec des "mises à jour locales" rapides.$[u]$$O(\lg u)$$u$

Le hachage de Wikipedia / Universal suggère , où est un nombre premier suffisant et est uniformément tiré de . Lorsque vous ajoutez ou supprimez l'élément , vous devez ajouter / soustraire du code de hachage, ce qui prend un temps utilisant divide and conquer pour l'exponentiation. Puisqu'un polynôme de degré ne peut avoir que des racines , la probabilité de collision pour deux ensembles distincts est de . Ceci peut être rendu très petit en prenant comme assez grand (par exemple,$h(\vec{x}) = \big(\sum_{i=1}^{u} x_i a^i \big) \bmod{p}$$p$$a$$[p]$$i$$a^i$$O(\lg i)$$u$$u$$O(u/p)$$p$$p=u^2$et vous travaillez en "double précision"). Si les ensembles sont beaucoup plus petits que , vous pouvez bien sûr commencer par réduire l'univers à un univers plus petit.$[u]$

Est-ce que quelqu'un connaît une solution avec une probabilité de collision lors d'un hachage allant de ? Cela devrait être possible.$O(1/p)$$[p]$

Carter et Wegman couvrent cela dans New hash functions (Fonctions de hachage) et leur utilisation dans l'authentification et définissent l'égalité ; c'est très similaire à ce que vous décrivez. Une fonction de hachage commutative peut être mise à jour élément par élément pour les insertions et les suppressions, et les correspondances à haute probabilité, dans O (1).

La qualité d’une fonction de hachage dépendra toujours des propriétés des éléments qu’elle doit hacher. Pouvez-vous dire quelque chose à ce sujet? Par exemple, votre suggestion de produit est probablement une mauvaise fonction de hachage si les éléments x_i de votre multiset ont généralement de nombreux petits facteurs premiers. Mais vous pouvez l’améliorer dans ce cas en prenant simplement le produit de tous les x_i + p mod q pour certains nombres premiers p et q.

A = 0x4F1BBCDD
B = 0x314EFB75
A*B = 1 
N = size of set before addition/removal<P>
Add X
H = (H-N)*B
U = H >> 16
V = H & 0xFFFF
H = (((U+X)&M)<<16) + ((V^X)&M)
H *= A
H += N+1

Remove X
H = (H-N)*B
U = H >> 16
V = H & 0xFFFF
H = (((U-X)&M)<<16) + ((V^X)&M)
H *= A
H += N-1

la somme nous permet d'avoir plusieurs occurrences de la même valeur
le xor nous permet d'avoir des ensembles qui totalisent le même montant