Partitionner un rectangle sans endommager les rectangles intérieurs

$C$ est un rectangle à axe parallèle.

$C_1,\dots,C_n$ sont des rectangles parallèles axe-parallèle disjoints tels que , comme ceci:$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Une partition préservant le rectangle de $C$ est une partition $C = E_1\cup\dots\cup E_N$ , de telle sorte que $N\geq n$ , les $E_i$ sont des rectangles parallèles à axes parallèles disjoints, et pour chaque $i=1,\dots,n$ : $C_i \subseteq E_i$ , c'est-à-dire que chaque rectangle existant est contenu dans un nouveau rectangle unique, comme ceci:

Qu'est-ce qu'un algorithme pour trouver une partition préservant le rectangle avec un petit ?$N$

En particulier, existe-t-il un algorithme pour trouver une partition préservant le rectangle avec parties?$N=O(n)$

NOUVELLE RÉPONSE: l'algorithme simple suivant est asymptotiquement optimal:

arbitrairement chacun des rectangles , dans toute la mesure du possible, de telle sorte que les rectangles restent disjoints deux à deux.$C_i$

Le nombre de trous est au maximum de . Ceci est asymptotiquement optimal, car il existe des configurations dans lesquelles le nombre de trous est d'au moins .$k-2$$k-O(\sqrt k)$

Les preuves sont dans cet article .

ANCIENNE RÉPONSE:

L'algorithme suivant, bien qu'il ne soit pas optimal, est apparemment suffisant pour trouver une partition préservant le rectangle avec parties.$N=O(n)$

L'algorithme fonctionne avec un polygone rectiligne , qui est initialisé au rectangle .$P$$C$

Phase 1: Choisissez un rectangle qui est adjacent à une limite ouest de (c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'autre rectangle entre le côté ouest de et une limite ouest de ). La place dans et l' étirer jusqu'à ce qu'il touche la limite ouest de . Soit (pour ) la version étirée de . Soit . Répéter la phase 1 fois jusqu'à ce que tous les$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$des rectangles originaux sont placés et étirés. Dans l'image ci-dessous, un ordre possible de placement des rectangles est :$C_1,C_2,C_4,C_3$

Maintenant, est un polygone rectiligne (éventuellement déconnecté), comme ceci:$P$

Je prétends que le nombre de sommets concaves dans est au plus . En effet, chaque fois qu'un rectangle étiré est supprimé de , il y a 3 possibilités:$P$$2n$$P$

• 2 nouveaux sommets concaves sont ajoutés (comme lors du placement de );$C_1,C_4$
• 3 nouveaux sommets concaves sont ajoutés et 1 est supprimé (comme avec );$C_3$
• 4 nouveaux sommets concaves sont ajoutés et 2 sont supprimés (comme avec ).$C_2$

Phase 2: Partition en rectangles parallèles à l'axe en utilisant un algorithme existant (voir Keil 2000, pages 10-13 et Eppstein 2009, pages 3-5 pour une revue).$P$

Keil cite un théorème qui dit que le nombre de rectangles dans une partition minimale est limité par 1 + le nombre de sommets concaves. Par conséquent, dans notre cas, le nombre est au plus , et le nombre total de rectangles dans la partition est .$2n+1$$N\leq 3n+1$

Cet algorithme n'est pas optimal. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, cela donne tandis que la solution optimale a . Il reste donc deux questions:$N=13$$N=5$

A. Cet algorithme est-il correct?

B. Existe-t-il un algorithme polynomial pour trouver le optimal , ou au moins une meilleure approximation?$N$