Propriété Church-Rosser pour le calcul lambda typé de manière dépendante?

Il est bien connu que la propriété Church-Rosser est valable pour réduction de β η dans le calcul lambda simplement typé. Cela implique que le calcul est cohérent, en ce sens que toutes les équations impliquant des termes λ ne sont pas dérivables: par exemple, K ≠ I , car elles ne partagent pas la même forme normale.$\beta \eta$$\lambda$$\neq$

Il est également connu que l'on peut étendre le résultat à des paires correspondant à des types de produits.

Mais je me demande si l'on peut étendre davantage le résultat pour le calcul lambda dépendant de manière dépendante (peut-être) avec des types polymorphes, par exemple le calcul des constructions?

Toutes les références seraient également géniales!

Merci

Il pourrait être utile de donner rapidement le contre-exemple à CR dans des calculs typés avec et η :$\beta$$\eta$

$$t=\lambda x:A.(\lambda y:B.\ y)\ x$$

Et nous avons et t →

$$t\rightarrow_\beta \lambda x: A.x$$ $$t\rightarrow_\eta \lambda y:B.y$$

Il est immédiat que si , alors les deux termes résultants sont, en fait, α équivalents, mais il n'y a aucune raison que ce soit le cas, surnon typé$A\equiv B$$\alpha$ termes .

En termes dactylographiés , il est assez clair que doit être égal à$A$ pour que le terme résultant t soit bien typé. La grande difficulté qui se produit est la suivante:$B$$t$

Pour les systèmes typés de manière dépendante, la confluence doit être prouvée avant la conservation du type!

$\Pi$

$$\Pi x:A.B=_{\beta\eta}\Pi x:A'.B'\ \Leftrightarrow\ A=_{\beta\eta}A'\wedge B=_{\beta\eta} B'$$

$\beta\eta$

$\eta$$\eta$$t\rightarrow_{\eta*}\lambda x:A.t\ x$

$\lambda$

Une approche différente, et récemment très populaire, est décrite par Abel, Untyped Algorithmic Equality for Martin-Löf's Logical Framework with Surjective Pairs .

On en sait un peu sur ce sujet. Le concept de Pure Type Systems (PTS) est utile pour montrer Church-Rosser (CR) pour de grandes classes de typés$\lambda$ -calculi typés. Paraphraser (1):

• PTS avec seulement une réduction β satisfait CR sur des termes typés. Cela découle immédiatement du CR sur les «pseudotermes», ainsi que de la réduction du sujet.

• Pour PTS avec réduction βη, CR sur l'ensemble des pseudotermes est faux. Voir (2).

• En PTS avec réduction βη, CR est valable pour les termes bien typés d'un type fixe . Voir (1).

Les STP sont des formalismes très généraux et incluent le système F, Fω, LF ainsi que le calcul des constructions. Les deux derniers sont typés de manière dépendante. Les deux (1, 2) sont des papiers assez anciens, et j'imagine qu'on en sait plus en 2015.

---

^{1. H. Geuvers, The Church-Rosser property for βη-reduction in typed$\lambda$-calculi .}

^{2. RP Nederpelt, Normalisation forte dans un calcul lambda typé avec des types structurés lambda .}