Livre d'auto-étude des algorithmes en théorie des groupes

Je suis un majeur en mathématiques intéressé par TCS.

Je veux auto-étudier les algorithmes et leur complexité pour résoudre les problèmes théoriques du groupe comme trouver l'ordre des éléments, l'énumération des coset, trouver le générateur, tester si un sous-ensemble donné génère le groupe.

Quel livre dois-je lire?

Si vous êtes intéressé par la théorie des groupes pertinente pour l'isomorphisme des graphes, alors en plus du livre de Seress mentionné par David Eppstein, je recommanderais fortement

Groupes de permutation de Dixon et Mortimer

Ce qui précède est un livre sur la théorie des groupes "juste", mais parmi les livres sur la théorie des groupes purs, il est probablement le plus pertinent pour l'isomorphisme graphique.

Un livre qui traite plus directement des algorithmes pour l'isomorphisme des graphes, qui place les algorithmes de théorie des groupes au centre, est:

Christoph Hoffman. Algorithmes théoriques de groupe et isomorphisme de graphes . Notes de cours Springer en informatique 136.

Ce dernier (avec la thèse de Paolo Codenotti) est actuellement l'un des rares endroits largement accessibles où vous pouvez vraiment trouver un compte rendu complet de certains des algorithmes les plus théoriques de groupe pour l'isomorphisme des graphes.

Cela fait vraiment une différence quelle est l'entrée de l'algorithme: comment spécifiez-vous un groupe?

Si vous voulez des groupes donnés par des générateurs et des relateurs, je suggérerais la théorie des groupes combinatoires , par Magnus, Karrass et Solitar (mais les algorithmes sont rares car trop de problèmes importants sont indécidables).

Si vous voulez des groupes automatiques (groupes dont les éléments sont des chaînes de symboles et dont les opérations de groupe sont effectuées par des automates finis, avec des applications en topologie de faible dimension), je suggère le traitement de texte en groupes par Epstein (pas moi!), Cannon, Holt , Levy, Paterson et Thurston.

Si vous voulez des groupes de permutation (le type d'algorithme de théorie des groupes qui est le plus pertinent, par exemple pour l'isomorphisme des graphes), alors Seress a un livre Algorithmes de groupe de permutation, mais je n'en ai pas de copie, donc je ne peux pas vous dire si c'est bon.

Il devrait y avoir un quatrième paragraphe ici sur les algorithmes de groupe de matrices mais je ne connais pas de livre sur ce sujet. Il y a une petite couverture dans le livre de Seress.

La référence la plus moderne et la plus complète est probablement "Handbook of Computational Group Theory" par Holt, Eick et O'Brien (lien)

Une référence classique est "le calcul dans les groupes présentés de façon définitive" par Charles Simms.

Pas un livre mais peut-être que les notes d' A. Hulpke sur la théorie des groupes informatiques sont intéressantes?

Si vous ne vous préoccupez que des groupes de permutation finis, j'ai trouvé le livre "Algorithmes fondamentaux pour les groupes de permutation" de Gregory Butler très lisible. C'est seulement pour les groupes de permutation finie, mais c'était l'un des seuls livres qui donnait du pseudo-code et des descriptions algorithmiques que je pouvais comprendre (pour Schreirer-Sims, des groupes électrogènes puissants, etc.). Le livre Seress recommandé par d'autres est décent, mais pour une raison quelconque, il a une aversion pour le pseudo-code, donc c'était très difficile pour moi de comprendre. Personnellement, j'ai utilisé le livre Butler pour une compréhension concrète des algorithmes et le livre Seress pour aider à comprendre les preuves de correction.

Le livre de Butler est assez ancien, mais je n'ai toujours pas trouvé de meilleure introduction aux algorithmes de groupes de permutation finie.

J'ai coupé mes dents sur la recherche d'énumération de génération d'algorithmes combinatoires, http://www.math.mtu.edu/~kreher/cages.html .

Je le recommande fortement. Vous apprenez des algorithmes de groupe de codage beaucoup plus rapides car les exemples manuels se décomposent très rapidement. Prenez également un système comme Sage ou Magma pour jouer avec pour l'utiliser comme une calculatrice de banc.