Fonctions booléennes de coefficients de Fourier décrites par des circuits de profondeur bornés avec des portes ET OU et XOR

Soit une fonction booléenne et considérons f comme une fonction de à . Dans ce langage, l'expansion de Fourier de f est simplement l'expansion de f en termes de monômes libres carrés. (Ces monômes forment une base pour l'espace des fonctions réelles sur . La somme des carrés des coefficients est simplement donc conduit à une distribution de probabilité sur les monômes carrés libres. Appelons cette distribution la distribution F.$f$$\{-1,1\}^n$$\{ -1,1 \}$$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

Si f peut être décrit par un circuit de profondeur borné de taille polynomiale, alors nous savons par un théorème de Linial, Mansour et Nisan que la distribution F est concentrée sur des monômes de taille jusqu'à un poids presque exponentiellement petit. Ceci est dérivé du lemme de commutation Hastad. (Une preuve directe serait très souhaitable.)$\text{polylog } n$

Que se passe-t-il lorsque nous ajoutons des portes mod 2? Un exemple à considérer est la fonction sur variables qui est décrite comme le produit interne mod 2 des n premières variables et des n dernières variables. Ici, la distribution F est uniforme.$IP_{2n}$$2n$

Question : La distribution F d'une fonction booléenne est-elle décrite par la taille du polynôme de profondeur bornée ET, OU, le circuit MOD est-il concentré (jusqu'à une erreur superpolynomialement petite) sur des "niveaux" ?$_2$$o(n)$

Remarques :

1. Un chemin possible vers un contre-exemple serait de "coller en quelque sorte" divers IP sur des ensembles de variables disjoints mais je ne vois pas comment le faire. Peut-être faudrait-il affaiblir la question et permettre d'attribuer des poids aux variables, mais je ne vois pas non plus de façon claire de le faire. (Donc, faire référence à ces deux questions fait également partie de ce que je demande.)$_2k$

2. Je suppose qu'une réponse positive à la question (ou à une variante réussie) s'appliquera également lorsque vous autorisez les portes mod . (Donc, poser la question était motivé par le récent résultat impressionnant de Ryan Williams à l'ACC.) $_k$

3. Pour MAJORITY, la distribution F est grande (1 / poly) pour chaque "niveau".

Comme l'a montré Luca, la réponse à la question que j'ai posée est "non". La question qui reste est de proposer des moyens de trouver les propriétés des distributions F des fonctions booléennes qui peuvent être décrites par les portes ET OU et mod 2 non partagées par MAJORITÉ.

Une tentative pour sauver la question en parlant des fonctions MONOTONE:

Question : La distribution F d'une fonction booléenne MONOTONE est-elle décrite par la taille polynomiale de profondeur bornée ET, OU, le circuit MOD est-il concentré (jusqu'à une erreur superpolynomialement petite) sur des "niveaux" ?$_2$$o(n)$

Nous pouvons spéculer que nous pouvons même remplacer par donc un contre-exemple pour cette version forte peut être intéressant. $o(n)$$\text{polylog} (n)$

Gil, est-ce que quelque chose comme ça serait un contre-exemple?

Soit tel que , et considère une entrée à bits comme une paire où est une chaîne de m bits et est un entier dans la plage écrit en binaire.$m$$n=m+\log m$$n$$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

Ensuite, nous définissons$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

Maintenant pour chaque la fonction f () a corrélation avec le caractère de Fourier , et donc le "niveau i" a au moins un fraction de la masse. (En fait plus, mais cela devrait suffire)$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f () peut être réalisé en profondeur-3: mettre tous les XOR dans une couche, puis faire la "sélection" en deux couches de AND, ORs et NOTs (sans compter les NOTs comme ajoutant à la profondeur, comme d'habitude).