Problèmes NP presque complets

Disons qu'un langage est de densité P proche s'il existe un algorithme de temps polynomial qui décide correctement sur presque toutes les entrées. $L$ $L$

En d'autres termes, il existe un P , tel que disparaît, ce qui signifie Cela signifie également que sur une entrée aléatoire uniforme, l'algorithme de polytime pour donnera la bonne réponse pour avec une probabilité approchant 1. Par conséquent, il est logique de visualiser presque facilement. $A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

Notez que $L\Delta A$ n'a pas besoin d'être clairsemé. Par exemple, s'il a chaînes à $2^{n/2}$ $n$ bits, il disparaît toujours (à un taux exponentiel), car $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$ .

Il n'est pas difficile de construire (artificiellement) des problèmes complets NP qui sont proches de la densité P , selon la définition ci-dessus. Par exemple, soit $L$ tout langage NP- complet, et définissez $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ . Alors $L^2$ conserve NP- complétude, mais a au plus $2^{n/2}$ $n$ -instances oui. Par conséquent, l'algorithme trivial qui répond "non" à chaque entrée, décidera correctement $L^2$ sur presque toutes les entrées; il ne se trompera que sur une fraction $\leq 1-2^{-n/2}$ d' entrées à $n$ bits.

D'un autre côté, il serait très surprenant que tous les problèmes NP complets soient proches de la densité P. Cela signifierait que, dans un sens, tous les problèmes liés au NP sont presque faciles. Cela motive la question:

En supposant P $\neq$ NP , quels sont les problèmes naturels de NP qui ne sont pas proches de la densité de P ?

— Andras Farago
source

Étant donné que heurística n'est pas exclu, il n'y a même pas un problème non nécessairement naturel pour lequel P ≠ NP est connu pour laisser entendre que le problème n'est pas presque P.

Je crois que les problèmes de correspondance postale sont un bon problème de candidat. C'est difficile même pour des instances uniformément aléatoires et donc c'est difficile dans le cas moyen.

— Mohammad Al-Turkistany

FYI: Votre choix de nomenclature, bien que naturel, entre en conflit avec certaines nomenclatures existantes: La classe Almost-P se compose des langues L telles que a la mesure 1. Vous pourriez également être intéressé par sachez que la version clairsemée de votre définition a déjà été utilisée et a des connexions avec plusieurs autres idées, voir P-close . Étant donné le defn de P-close, peut-être un bon nom pour votre concept est P-densité-close, ou P-close-assez :).

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow

En revanche, le problème de décision " Graph Coloration " est vraisemblablement un candidat pour un tel problème.

$\;$

Je ne suis pas convaincu que ce soit la bonne définition. Si la densité de disparaît, elle est "presque facile" via n'importe quel langage trivial , quelle que soit la difficulté. Pourtant, il est difficile d'exposer des langues dures naturelles sur l'alphabet avec une densité qui ne disparaît pas , simplement à cause de l'encodage. L'intersection ne devrait-elle pas être avec la taille entrées valides (c'est donc un problème de promesse), plutôt qu'avec toutes les chaînes? Sinon, cela nécessite principalement de répondre à la question: existe-t-il un codage booléen d'un langage NP-dur avec une densité qui ne disparaît pas?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— András Salamon

J'ai cherché s'il y a une hypothèse généralement acceptée dans la théorie de la complexité, ce qui implique qu'il doit exister un langage NP- complet qui ne peut pas être accepté en temps polynomial sur presque toutes les entrées (comme défini dans la question).

Il est intéressant de noter que les hypothèses les plus "standard" ne semblent pas impliquer cela. Autrement dit, il ne semble pas suivre (sauf si j'ai oublié quelque chose) de P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / poly, PH ne s'effondre pas, etc. $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

D'un autre côté, j'ai trouvé une hypothèse, un peu moins standard, qui implique l'existence du problème complet de NP recherché , bien qu'il ne soit pas naturel. Dans la théorie de la mesure limitée des ressources, l'hypothèse fondamentale est que NP n'a pas de mesure zéro, notée NP . De manière informelle, cela signifie que les langues NP dans E ne forment pas un sous-ensemble négligeable. Pour plus de détails, consultez un sondage ici . Dans cette théorie, ils prouvent, entre autres choses, que NP implique l'existence d'un P $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ $)\neq 0$ - langage bi-immun en NP . Un langage est P de-immune si ni ni son complément à un sous - ensemble infini P . Une telle langue satisfait fortement à nos exigences. $L$ $L$

Cependant, on ne sait toujours pas s'il existe un exemple qui représente un problème naturel .

— Andras Farago
source

La bi-immunité est également beaucoup plus forte que votre condition, et est liée à l'utilisation plus courante de "presque tous" dans la théorie de la complexité structurelle, à savoir "pour tous mais en nombre infini" ...

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Je suis d'accord, mais il semble que, dans un sens, la P-bi-immunité signifie une intractabilité trop forte . Il ne semble pas se produire parmi les problèmes naturels de NP-complet. Il m’étonne qu’apparemment, il n’existe aucun résultat qui crée les conditions de l’existence d’un langage NP-complet insoluble «faiblement presque partout». Par «faiblement presque partout», je veux dire que la condition «presque tous finis» est remplacée par «presque tous disparaissant». Cela pourrait mieux correspondre à ce que l'on rencontre réellement dans la pratique.

— Andras Farago

Le NP est-il connu pour être p-mesurable?

@RickyDemer Pour autant que je sache, on ne sait pas si NP est p-mesurable.

— Andras Farago