vs

Le problème central de la théorie de la complexité est sans doute vs . $P$ $NP$

Cependant, comme la nature est quantique, il semblerait plus naturel de considérer les classes (c'est-à-dire les problèmes de décision pouvant être résolus par un ordinateur quantique en temps polynomial, avec une probabilité d'erreur d'au plus 1/3 pour toutes les instances) et (l'équivalent quantique de ) à la place. $BQP$ $QMA$ $NP$

Mes questions:

1) Une solution au problème vs donnerait-elle une solution à vs ? $P$ $NP$ $BQP$ $QMA$

2) Les trois barrières de la relativisation, des preuves naturelles et de l'algèbre s'appliquent-elles également au problème vs ? $BQP$ $QMA$

cc.complexity-theory complexity-classes quantum-computing

— Anthony Leverrier
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1) Aucune implication n'est connue dans les deux sens. Nous savons que P = NP implique P = PH. Mais nous ne savons pas si BQP et QMA sont en PH, alors peut-être que P pourrait être égal à NP mais que BQP et QMA ne s'effondreraient toujours pas. (D'un autre côté, notez que QMA⊆PP⊆P ^#P , donc certainement P = P ^#P impliquerait BQP = QMA.) Montrer que BQP = QMA implique P = NP semble encore plus désespéré dans l'état actuel des connaissances .

2) Absolument, les trois barrières s'appliquent avec force à BQP vs. QMA (et même au problème "plus facile" de prouver P ≠ PSPACE). Premièrement, par rapport à un oracle PSPACE (ou même à l'extension à faible degré d'un oracle PSPACE), nous avons

P = NP = BQP = QMA = PSPACE,

il faudra donc certainement des techniques non relativisantes et non algébriquantes pour séparer ces classes. Deuxièmement, pour obtenir une barrière de preuves naturelles pour mettre des choses en dehors de BQP, tout ce dont vous avez besoin est une famille de fonctions pseudo-aléatoires qui est calculable en BQP, qui est une exigence formellement plus faible qu'une famille de fonctions pseudo-aléatoires calculable en P.

Addendum: Permettez-moi de dire quelque chose à propos d'une "métaquestion" que vous n'avez pas posée, mais qui a laissé entendre, pourquoi les gens se concentrent toujours sur P contre NP, même si nous pensons que la nature est quantique. Personnellement, j'ai toujours considéré P vs NP comme rien de plus que le «vaisseau amiral» pour tout un tas de questions de barrière en théorie de la complexité (P vs PSPACE, P vs BQP, NP vs coNP, NP vs BQP, l'existence de fonctions unidirectionnelles, etc.), aucunedont nous savons comment répondre, et qui sont tous liés en ce sens que toute percée avec l'un entraînerait très probablement des percées avec les autres (même lorsque nous n'avons pas d'implications formelles entre les questions, ce que dans de nombreux cas nous faire). P contre NP n'est pas intrinsèquement plus fondamental que les autres - mais si nous devons choisir une question pour servir d'enfant d'affiche de la complexité, alors c'est un bon choix.

— Scott Aaronson
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Salut Scott, merci beaucoup pour cette excellente réponse! Et votre addendum répond exactement à ce que j'avais en tête.

— Anthony Leverrier

Je suppose que l'importance de P par rapport à NP, en tant que problème "phare" de la théorie de la complexité, indique quelque chose sur l'histoire de la théorie du calcul. Après les logiciens, il semble que ce soient les combinateurs qui aient approfondi le sujet. Peut-être que si la théorie de la complexité avait été développée par les théoriciens des opérateurs à la place, le problème phare de la "dureté" ne serait pas la satisfiabilité booléenne, la coloration 3 ou le problème du voyageur de commerce, mais le problème de déterminer si une somme d'opérateurs semi-finis positifs k-locaux positifs est définie positive. (Qui est k-QSAT, bien sûr.)

— Niel de Beaudrap

Oui, je suppose que tant que de nouvelles techniques sont nécessaires pour un tel problème (P vs NP, BQP vs QMA, etc.), cela ne fait pas trop mal de se concentrer sur un problème spécifique.

— Anthony Leverrier

Un commentaire secondaire - si vous considérez l'informatique quantique comme votre définition du calcul réalisable, vous considérerez probablement BQP vs NP comme la question centrale, et non BQP vs QMA. La raison en est que NP capture toujours une énorme fraction des questions que nous voulons résoudre (ou que nous voulons rester durs pour la cryptographie), peu importe si nous essayons de les résoudre avec un ordinateur classique ou quantique.

— Boaz Barak

@Boaz - Pensez-vous que les problèmes NP sont intrinsèquement plus pertinents que les problèmes QMA, ou que cela semble être le cas pour le moment parce que nous sommes plus habitués à penser en termes de problèmes classiques que quantiques?

— Anthony Leverrier