Étant donné un graphe libre

Le problème du $k$ cycle est le suivant:

Instance: Un graphe non orienté $G$ avec $n$ sommets et jusqu'à arêtes. $n \choose 2$

Question: Existe-t-il un (bon) $k$ cycle dans $G$ ?

Contexte: Pour tout fixe $k$ , nous pouvons résoudre un cycle de $2k$ en temps $O(n^2)$ .

Raphael Yuster, Uri Zwick: trouver des cycles pairs encore plus rapides. SIAM J.
Discrete Math. 10 (2): 209-222 (1997)

Cependant, on ne sait pas si nous pouvons résoudre 3 cycles (c'est-à-dire 3-cliques) en moins de temps de multiplication matricielle.

Ma question: en supposant que $G$ ne contient pas de 4 cycles, pouvons-nous résoudre le problème des 3 cycles en temps $O(n^2)$ ?

David a suggéré une approche pour résoudre cette variante du problème à 3 cycles en temps $O(n^{2.111})$ .

— Michael Wehar
source

Il semble que si le plus petit cycle d' un graphe

G

$G$ a une longueur d'au moins 5, alors il a au plus

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$ arêtes. Lien: link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638

— Michael Wehar

Des informations supplémentaires peuvent être trouvées dans cet article: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121

— Michael Wehar

Je pense que vous pourriez également être intéressé par Eisenbrand, Friedrich et Fabrizio Grandoni. "Sur la complexité de la clique à paramètres fixes et de l'ensemble dominant." Informatique théorique 326.1 (2004): 57-67. (Au cas où vous n'en seriez pas déjà conscient).

— Juho

Réponses:

Oui, c'est connu. Il apparaît dans l'une des références incontournables sur la recherche de triangle ...

A savoir, Itai et Rodeh montrent dans SICOMP 1978 comment trouver, en temps , un cycle dans un graphique qui a au plus un bord de plus que le cycle de longueur minimum. (Voir les trois premières phrases du résumé ici: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) Il s'agit d'une procédure simple basée sur les propriétés de largeur en premier chercher. $O(n^2)$

Donc, si votre graphique est libre sur 4 cycles et qu'il y a un triangle, leur algorithme doit le sortir, car il ne peut pas sortir un 5 cycles ou plus.

— Ryan Williams
source

Ce n'est pas quadratique, mais Alon Yuster et Zwick ("Finding and counting given length cycles", Algorithmica 1997) donnent un algorithme pour trouver des triangles dans le temps , où est l'exposant du rapide multiplication matricielle. Pour les graphes sans-4 cycles, branchent et (sinon il y a un -cycle indépendamment de l' existence de -cycles) donne le temps $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$ $\omega$ $\omega<2.373$ $m=O(n^{3/2})$ $4$ $3$ . $O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

— David Eppstein
source

C'est bien! J'apprécie vraiment cela. :)

— Michael Wehar

Oui, si un graphe n'a pas de 4 cycles, alors il a au plus

bords. Lien:books.google.com/…

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— Michael Wehar

N'hésitez pas à me corriger si je me trompe. Il semble que "The Even Circuit Theorem" par Erdos dit que si un graphe est sans cycle de

, alors il a au plus

2 k

$2k$

bords. Lien:sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073

O (n^{1 + \frac{1}{k}})

$O(n^{1+\frac{1}{k}})$

— Michael Wehar

Par conséquent, si un graphe n'a pas de cycle 6, alors il a au plus

bords. Par conséquent, nous pouvons déterminer s'il a un temps de 3 cycles en

utilisant la méthode suggérée par David. :)

O (n^{\frac{4}{3}})

$O(n^{\frac{4}{3}})$

O (n^{1.876})

$O(n^{1.876})$

— Michael Wehar

De plus, pour tout

fixe , si

est sans cycle de

, alors nous pouvons déterminer si

a un cycle sous-quadratique à 3 cycles parce que

n'a pas trop d'arêtes. Cependant, lorsque

, c'est là que les choses deviennent intéressantes. Peut-on battre

k > 2

$k > 2$

G

$G$

2 k

$2k$

G

$G$

G

$G$

k = 2

$k = 2$

O (n^{2.111})

$O(n^{2.111})$

— Michael Wehar