Quels paramètres de graphique ne sont PAS concentrés sur des graphiques aléatoires?

Il est bien connu que de nombreux paramètres de graphique importants montrent une concentration (forte) sur des graphiques aléatoires, au moins dans une certaine plage de probabilité de bord. Quelques exemples typiques sont le nombre chromatique, la clique maximale, l'ensemble indépendant maximal, la correspondance maximale, le numéro de domination, le nombre de copies d'un sous-graphique fixe, le diamètre, le degré maximal, le numéro de choix (numéro de coloration de la liste), le numéro Lovasz $\theta$ , la largeur de l'arbre, etc.

Question: Quelles sont les exceptions, c'est-à-dire les paramètres de graphique significatifs qui ne sont pas concentrés sur des graphiques aléatoires?

Modifier. Une définition possible de la concentration est la suivante:

$X_n$$n$$\epsilon>0$

Remarque: On peut construire des exemptions artificielles de la règle de concentration. Par exemple, supposons , si le graphique a un nombre impair d'arêtes, et 0 sinon. Ce n'est clairement pas concentré, mais je ne le considérerais pas comme un paramètre significatif .$X_n=n$

De nombreux paramètres de la plus grande composante connectée ne sont pas concentrés pour $G(n,p)$ si $p=1/n$ et plus généralement si $p$ est dans la fenêtre critique. Des exemples sont le diamètre et la taille du plus grand composant, la taille du deuxième plus grand composant, le nombre de feuilles du composant, etc.

Voir par exemple

Aldous, David. "Excursions browniennes, graphes aléatoires critiques et coalescent multiplicatif." The Annals of Probability (1997): 812-854.

Nachmias, Asaf et Yuval Peres. "Graphiques aléatoires critiques: diamètre et temps de mélange." Les Annales de Probabilité 36, no. 4 (2008): 1267-1286.

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin et Christina Goldschmidt. "La limite du continuum des graphes aléatoires critiques." Théorie des probabilités et domaines connexes 152, no. 3-4 (2012): 367-406.

Le défaut de concentration se produit pour certaines propriétés de comptage ( ), et peut-être pour beaucoup d'entre elles.$\#\mathsf{P}$

Un exemple simple est le nombre de sous-graphiques couvrant ( ). Le nombre d'arêtes d'un graphe aléatoire fluctue de ± Θ ( n ), de sorte que le nombre de sous-graphes s'étendant varie d'un facteur de 2 Θ ( n ) , bien loin du facteur ( 1 + ϵ ) que vous utilisez dans votre définition de la concentration .$2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

Pour montrer que ce n'est pas un exemple isolé, voici un argument (pas entièrement rigoureux mais pouvant être rendu rigoureux) pour expliquer pourquoi le manque de concentration devrait également être vrai du nombre de cycles hamiltoniens. La valeur attendue de ce nombre est clairement : chacun des ( n - 1 ) ! / 2 séquences cycliques de sommets a un une / deux n chances d'être en fait un cycle hamiltonien. Par un argument similaire, la quantité attendue de changement à ce nombre causée par l'introduction d'un nouveau bord serait $(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$ , plus petit d'un facteur linéaire. Si le nombre de cycles hamiltoniens était fortement concentré, la plupart des flips de bord entraîneraient une variation de ce nombre proche de sa valeur attendue. Mais alors lafluctuation Θ ( n ) du nombre d'arêtes entraînerait une fluctuation du nombre de cycles hamiltoniens proportionnelle à sa valeur attendue, contredisant l'hypothèse d'une forte concentration.$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$

D'autres candidats plausibles pour l'échec de la concentration comprennent le nombre de colorations (partitions des sommets en ensembles indépendants), le nombre de correspondances ou de correspondances parfaites, ou le nombre d'arbres couvrant.