Est-il possible de décider si la longueur de sortie d'un transducteur est limitée par la longueur d'entrée?


10

Les transducteurs considérés ici sont ceux que Wikipedia appelle les transducteurs à états finis . Le comportement d'un transducteur , qui est la relation qu'il calcule, est écrit : un mot est une sortie pour ssi .[ T ] y x x [ T ] yT[T]yxx[T]y

Question: Le problème suivant est-il décidable:

Étant donné: Un transducteur et un langage régulier Décide: Tient-il que , un mot, implique que?L x LTL
xLx [ T ] y | y | | x |yx[T]y|y||x|

Je recherche une analyse non triviale / des sous-cas résolubles, une réduction des problèmes connus et / ou des références associées. (en ce moment même pas sûr que c'est décidable en général ...?)

Motivation: ce problème a été inspiré par une analyse / recherche d' un théorème automatisé prouvant des problèmes de théorie des nombres en général et une étude très étudiée, la conjecture de Collatz , en particulier.


2
ps (aurait dû le mentionner, comme on le sait depuis longtemps) Les transducteurs FSM sont suffisamment puissants pour calculer des itérations uniques de «descriptions instantanées» de MT . d' où le problème semble peut - être se rapporter à LBAs et PCÉ .
vzn

Parvous parlez du nombre de sorties sur l'entrée , non? Pas la taille des sorties, auquel cas ce serait assez simple. X|F(x)|x
Michaël Cadilhac

| F ( x ) | ϵx,F(x) sont tous deux des mots etest la longueur du mot "sortie". avoir quelques idées mais ne vois rien de direct pour le moment d'où la question. son probablement non trivial en raison par exemple des entrées / sorties sur certaines transitions, etc.|F(x)|ϵ
vzn

Donc, vous supposez implicitement que votre transducteur est fonctionnel - en termes de notation, ce n'était pas clair pour moi :-) Alors qu'en est-il de ce qui suit: Soit un transducteur (éventuellement non déterministe) et un langage régulier donné. Modifiez en un transducteur afin qu'il vérifie si son entrée est en , et que tous ses états sont accessibles et co-accessibles. Alorspour tout ssi il n'y a pas de cycle simple dans le transducteur pour lequel l'entrée est plus petite que la sortie, et quelques propriétés faciles supplémentaires sur les transitions n'apparaissent dans aucun SCC. L T T L | T ( w ) | | w | w L T TLTTL|T(w)||w|wLT
Michaël Cadilhac

D'accord. pour "l'entrée est plus petite que la sortie", vous voulez dire au cours du cycle? pense que cela vaut la peine d'écrire comme réponse. il y avait une autre façon de formuler ce problème / lié avec des critères plus stricts qui n'est probablement pas (aussi) facile, peut-être réessayera-t-il ("partie 2 / suite / suivi") si votre réponse semble correcte. ce problème actuel est probablement presque un cas particulier du problème plus large.
vzn

Réponses:


8

L'autre contributeur a supprimé sa réponse, peut-être pour me permettre d'étendre mon commentaire ci-dessus, alors le voici.

Soit un transducteur éventuellement non déterministe, et L un langage régulier. Modifiez T en un transducteur T ' qui vérifie que son entrée est dans L (par exemple en changeant l'ensemble d'état en produit cartésien des ensembles d'états de T et L , et en modifiant la fonction de transition de sorte que la partie L des états est correctement mis à jour, tout en conservant le comportement de T. )TLTTLTLLT

Une branche de est une séquence ρ 1 C 1 ρ 2 C 2ρ n C n ρ n + 1 telle que ρ 1 ρ 2ρ n + 1 est un chemin simple accepteur dans T , et chaque C i est une composante fortement connectée de T ′ dont les états incluent la destination de ρ i (et l'origine de ρ iTρ1C1ρ2C2ρnCnρn+1ρ1ρ2ρn+1TCiTρi ). La branche estapprivoiséesi:ρi+1

  1. La longueur d'entrée du chemin est supérieure ou égale à sa longueur de sortie;ρ1ρ2ρn+1

  2. Pour tout , tout cycle simple en C i , la longueur d'entrée du cycle est supérieure ou égale à sa longueur de sortie.iCi

Fait: Pour tout x , y , x [ T ] y implique | y | | x | ] ssi toutes les branches sont apprivoisées.[x,yx[T]y|y||x| ]

La preuve est assez immédiate. Cette dernière propriété étant décidable (comme le nombre de branches est borné, et le nombre de cycles simples aussi), cela montre que le problème de la question est décidable.


1
Il ressort de la description qu'il est même décidable en NL (donc en P), en supposant que est donné par un FSA. L
Emil Jeřábek

Je vous ai envoyé un avis (désolé de ne pas avoir lu attentivement votre commentaire avant de poster) mais vous ne l'avez probablement pas reçu après la suppression de la réponse :-) ... mais maintenant - en tant que remboursement de temps - vous devriez passer à (et résoudre!) ce plus délicat: " Problème ouvert : Existe-t-il et un codage calculable S n tel que, pour tout k 1 , L S nn = L S nn + k ?" :-D :-Dn1Snk1LnSn=Ln+kSn
Marzio De Biasi

1
@ EmilJeřábek En effet, c'est assez clairement en co-NL (donc en NL).
Michaël Cadilhac

@MarzioDeBiasi Merci! Je n'ai en effet pas vu votre avis ☺ Je vais travailler sur le remboursement de votre temps quand j'en ai ☺
Michaël Cadilhac
En utilisant notre site, vous reconnaissez avoir lu et compris notre politique liée aux cookies et notre politique de confidentialité.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.