Multigraphes dirigés comme automates minimaux

Étant donné un langage régulier sur l'alphabet , son automate déterministe minimal peut être vu comme un multigraphe connecté dirigé avec un degré extérieur constant et un état initial marqué (en oubliant les étiquettes de transitions, les états finaux). Nous gardons l'état initial car chaque sommet doit être accessible depuis celui-ci. $L$ $A$ $|A|$

L'inverse est-il vrai? C'est-à-dire, étant donné un multigraphe connecté dirigé avec un degré extérieur constant et un état initial tels que chaque sommet est accessible depuis celui-ci, y a-t-il toujours un langage tel que est le graphe sous-jacent de l'automate minimal de ? $G$ $L$ $G$ $L$

Par exemple si c'est vrai, puisque le graphe doit être un "lasso" avec un préfixe de taille et une boucle de taille , et correspond à l'automate minimal de . $|A|=1$ $i$ $j$ $L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

La motivation vient d'un problème connexe rencontré dans une réduction de décidabilité, où la solution est plus facile: à partir d'un graphe simple non orienté, et avec plus d'opérations autorisées comme l'ajout de puits. Mais je me demandais si quelqu'un avait déjà regardé cette question plus naturelle?

Les seules choses connectées à distance que j'ai pu trouver dans la littérature sont des articles comme la complexité de la coloration des routes avec des mots de réinitialisation prescrits , où le but est de colorer un tel multigraphe de sorte que l'automate résultant ait un mot de synchronisation. Cependant, la minimalité ne semble pas être prise en compte.

Mise à jour : Question de suivi après la réponse de Klaus Draeger: quelle est la complexité de décider si un graphique est de cette forme? On peut deviner l'étiquetage et vérifier polynomialement la minimalité de l'automate, donc c'est en NP, mais peut-on en dire plus?

graph-theory automata-theory

— Denis
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$n$ $n$

$H$ $n(H)$ $n(H)$ $H$

EDIT, concernant la question de suivi: Cela semble délicat. Une approche suggérée par mon argument pourrait ressembler à ceci:

$G$ $O(|V|+|E|)$
$P$
$\{a,b\}$ $a$ $b$
Traiter les SCC restants dans le DAG de la même manière, en tenant compte des plus bas; Je suis un peu flou sur les détails de cette partie.

C'est une étape dont la complexité est célèbre, et une autre qui semble nécessiter un temps exponentiel (car il peut y avoir de manière exponentielle de nombreuses partitions en classes de bisimilarité à exclure lors de la détermination des automates autorisés). Pouvons-nous faire mieux?

— Klaus Draeger
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Très bien merci. Une question de suivi naturelle est la complexité de décider si un graphe est induit par un automate minimal. C'est en NP mais peut-on en dire plus?

— Denis