Conséquence de PIT sur

Étant donné telle sorte que les coefficients de soient bornés par , est-ce que vrai ? $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

Le lemme de Schwartz-Zippel s'applique ici car il vaut pour les champs généraux et et il existe un algorithme randomisé efficace pour ce problème. $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Nous prévoyons que ce problème aura une dérandomisation efficace.

Quelle est la conséquence si ce problème n'a pas de dérandomisation efficace?

big-picture derandomization conditional-results

— András Salamon
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Comment sont donnés

p

$p$

q

$q$

$\;$

@RickyDemer Comment est-il donné dans les tests d'identité polynomiaux réguliers?

Le résultat Kabanets-Impagliazzo ne dit-il pas que nous ne nous attendons pas à une dérandomisation efficace?

— Suresh Venkat

Oui.

$\:$ Je pensais que j'allais en parler depuis avec la représentation standard ,

$\hspace{1.76 in}$ différentes chaînes représentent des éléments distincts.

$\;\;\;\;$

@SureshVenkat: Kabanets & Impagliazzo ont prouvé plusieurs choses, y compris: 1. Si PIT peut être dérandomisé, soit NEXP n'a pas de circuits polysize (booléens) ou le permanent n'a pas de circuits polysize (arithmétiques); 2. Si le permanent nécessite des circuits de taille superpoly, le PIT peut être "faiblement" dérandomisé. Puisque les conclusions de 1. sont généralement conjecturées pour tenir aussi bien que la prémisse de 2., je dirais contrairement à vous que le résultat KI dit que nous nous attendons à une dérandomisation efficace.

— Bruno

Réponses:

Puisque PIT est en , s'il n'y a pas de dérandomisation efficace, alors (et, en particulier, , mais ce n'est pas si surprenant, car nous nous attendons à ce que cela soit vrai de toute façon). Cela implique également, bien sûr, que , donc tout ce qui implique devient faux. Par exemple, il n’existe pas de générateurs de nombres pseudo-aléatoires suffisamment puissants et $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ aurait des circuits de taille sous-exponentielle! $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— Joshua Grochow
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Cela vaut donc quel que soit le champ au sol (coefficients dans

où

avec quelques bornes sur les coefficients)?

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

En effet, comme vous l'avez déjà souligné, Schwarz-Zippel-DeMillo-Lipton s'applique sur des champs arbitraires, et tout ce dont il a besoin est une limite sur le degré des polynômes (pas la taille des coefficients ni la taille du circuit). Avec un très petit nombre d'exceptions, PIT signifie généralement la version délimitée par le degré (degré délimité par un polynôme dans le nombre de variables).

— Joshua Grochow du

Peut-être une chose idiote. Vous avez mentionné l'indépendance de la taille des coefficients et de la taille des circuits. J'ai supposé que la taille dépend du degré et de la taille du coeff. Ai-je tort?

La taille du circuit peut dépendre de la taille du coefficient, en fonction de votre modèle (le modèle dont il dépend est généralement appelé "sans constante"). La taille du circuit ne dépend que de façon très lâche du degré, dans le sens où la taille est au moins logarithmique du degré, mais vraiment l'algorithme coRP sortant de SZDL est à peu près le degré. Cela ne dépend même pas des fonctions données en tant que circuits - juste sous une forme dans laquelle elles peuvent être facilement évaluées ("boîte noire").

— Joshua Grochow

Je vous remercie. Il est un peu troublant que la dérandomisation puisse se faire sans perte d'efficacité même si les coefficients eux-mêmes peuvent être constructivement compliqués

Vous vous interrogez sur les problèmes de grande image ici. Un nombre naturel peut être canoniquement représenté en notation unaire, mais cette représentation est assez inefficace en termes d'espace. Vous pouvez également le représenter en notation binaire, qui est plus économe en espace, mais qui n'est plus canonique, car vous pouvez également utiliser la notation tenaire ou la notation décimale. Mais notez que la représentation par circuits n'est pas significativement moins efficace que la notation binaire, voir par exemple

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

Et notez que cela (...)*(1+1)peut être remplacé par x:=(...) in x+x, vous n'avez donc même pas besoin de multiplication pour cela. Mais parce que vous avez une multiplication, vous pouvez même représenter efficacement des nombres comme 1011^101101. Notez également que vous pouvez efficacement ajouter, soustraire et multiplier des nombres dans cette représentation. Mais cette représentation n'est pas limitée aux nombres, elle fonctionne même exactement de la même manière pour les fonctions polynomiales multivariées. Et pour les polynômes, c'est même une représentation tout à fait naturelle, car les polynômes sont l'algèbre libre pour les anneaux commutatifs, et la représentation en tant que circuit peut être utilisée pour n'importe quelle algèbre libre.

Mais revenons un instant aux nombres (naturels), des nombres comme . NJ Wildberger a écrit des diatribes ultrafinitistes, comme Set Theory: devriez-vous croire? . Dans la section Mais qu'en est-il des nombres naturels? l'existence de nombres comme est admise, car on peut évidemment les noter. Mais l'existence de presque tous les nombres naturels entre et $c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ est refusée, car la plupart de ces nombres contiendraient plus d'informations que ce que pourrait représenter l'univers physique. La plupart des diatribes m'ont juste fait rire, mais ce point m'a fait réfléchir. Des philosophes comme Willard Van Orman Quine ont protesté contre la prétention à l'existence de possibles non concrétisés, entre autres parce que ceux-ci conduisent à des éléments désordonnés qui ne peuvent pas être considérés comme identiques à eux-mêmes et distincts les uns des autres. J'ai donc trouvé tout à fait raisonnable de m'interroger sur les présentations de nombres pour lesquelles on effectue toujours l'addition, la soustraction et la multiplication, et au moins de déterminer de manière significative si deux nombres sont distincts l'un de l'autre. La représentation du circuit y parvient ...

Retour aux polynômes et représentations de circuits d'algèbres libres. Voici quelques questions générales:

Cette représentation d'une algèbre libre permet-elle toujours un test probabiliste d'identité efficace, ou est-ce limité aux anneaux commutatifs?
-> Le test d'identité est souvent même indécidable: Pour , le réseau modulaire libre généré par éléments est infini et a en fait un problème de mot indécidable (Freese, Herrmann). $n\geq 4$ $n$
Existe-t-il une algèbre libre pour laquelle des tests d'identité déterministes efficaces invalideraient toute conjecture communément admise, comme P! = NP?
-> Oui, le test d'identité pour l'algèbre libre pour les anneaux commutatifs réguliers est NP-complet. Je ne l'ai pas remarqué depuis longtemps, voir ci-dessous ...
Un test d'identité déterministe efficace pour (= l'algèbre libre des anneaux commutatifs) invaliderait-il des conjectures intéressantes ? $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Je m'interroge particulièrement sur l'algèbre libre des anneaux commutatifs réguliers ici (c'est-à-dire les anneaux avec une opération inverse généralisée), car ils permettraient de représenter des nombres rationnels et des fonctions rationnelles. Notez que si nous avions utilisé cette représentation uniquement pour les nombres, alors nous aurions pu nous demander si nous pouvons tester efficacement a < bcette représentation. Cette question n'a pas de sens pour l'anneau commutatif libre, mais elle pourrait avoir un sens pour les polynômes, si nous les interprétons dans le contexte d'anneaux partiellement ordonnés libres. Mais un anneau partiellement ordonné n'est qu'une structure relationnelle au lieu d'une algèbre, c'est donc un autre type de question ...

Le lemme de Schwartz-Zippel s'applique ici car il vaut pour les champs généraux et et il existe un algorithme randomisé efficace pour ce problème. $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Eh bien, il est vrai que le lemme de Schwartz-Zippel s'applique ici, et qu'il existe un algorithme randomisé efficace pour ce problème, mais ces deux faits ne sont pas directement liés. Rappelons qu'il est facile de représenter efficacement des polynômes comme par un circuit. Donc, si est la taille du circuit, alors les amplitudes des coefficients de , ou $((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ sont faciles à réaliser. Cela dit,test identité polynomiale probabiliste fonctionne toujours sur. La limite sur les coefficients est quelque chose comme, et vous avez juste besoin de deviner au hasard un nombre premier qui ne divise pas simultanément tous les coefficients. Ilexistesuffisamment de nombres premiers d'ordrepour le faire de manière probabiliste efficace. $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ $B=\exp(\exp(n))$ $O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

D'un autre côté, je crois également que vous pouvez simplement utiliser n'importe quel générateur de nombre pseudo-aléatoire raisonnable et ainsi décider du PIT à toutes fins pratiques, si vous testez juste assez longtemps. Je crois seulement que vous ne pouvez jamais vous débarrasser du doute restant (petit infinitésimal), similaire aux ensembles de mesure zéro, qui restent ennuyeux en n'étant pas vides.

— Thomas Klimpel
source

P! = N P

$P!=NP$

Je pense uniquement à un problème d'algèbre gratuit, mais pas à ce à quoi vous pensez