Digraphe équivalent minimum par rapport aux sources et aux puits

Etant donné un DAG (graphe orienté acyclique) , avec des sources et les puits . Trouver un DAG , avec des sources et des puits , avec un nombre minimum d'arêtes tel que: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Pour toutes les paires il y a un chemin de vers dans si et seulement s'il y a un chemin de vers dans . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Une application de ceci représente une famille d'ensemble par un DAG. Pour une telle représentation, chaque source est une variable dans l'univers et chaque puits est un ensemble dans la famille des ensembles, et un élément u est dans un ensemble S si et seulement s'il y a un chemin du sommet représentant u au sommet représentant le définir S.

Ce problème est-il bien connu? Existe-t-il un algorithme polynomial pour ce problème?

graph-theory graph-algorithms

— Martin Vatshelle
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Je suppose que la solution doit être un sous-graphique du graphique d'origine, non? Si oui, je pense que ce problème capture Set Cover, grâce à la réduction standard qui montre que l'arbre dirigé de Steiner est difficile: créez un sommet pour chaque élément, un sommet pour chaque ensemble et un bord dirigé (S, u) si l'ensemble S contient l'élément u. Ajoutez ensuite un nouveau sommet et des arêtes à tous les sommets définis. Il y a un chemin de ce nouveau sommet à tous les puits (les sommets des éléments). Afin de les conserver tous, nous devons sélectionner le nombre minimum de sommets définis qui couvre tous les éléments.

— Michael Lampis

Non, en général, je dirais que ce ne devrait pas être un sous-graphique du graphique d'origine. Les sources sont des éléments et vous avez besoin d'un élément si et seulement si un ensemble contient cet élément. Les puits sont des ensembles et vous ne pouvez pas supprimer les ensembles que vous êtes censés représenter, donc la seule chose que l'on puisse faire si l'on part du graphe naïf où tous les nœuds sont des puits ou des sources est d'ajouter des sommets et de déplacer / supprimer des bords.

— Martin Vatshelle

Le problème ne semble pas encore bien défini. Quelles sont les restrictions sur l'ensemble des sommets de ? Avez-vous besoin que l'ensemble de sommets de soit le même que l'ensemble de sommets de ? Que les sources et les puits de sont les mêmes que les sources et les puits de ? Qu'il y ait une fonction mappant un sommet de à un sommet de , et la condition est en fait qu'il y ait un chemin de vers dans ssi il y a un chemin de à dans

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$ ? Chacun pourrait entraîner un problème légèrement différent. Modifier la question pour clarifier?

— DW

J'ai clarifié la question, en effet je veux dire que les sources et les puits sont les mêmes. Je pense que le mappage est assez proche du même, la seule façon de mapper deux puits au même nœud est s'ils sont accessibles à partir du même ensemble de sources, c'est-à-dire qu'il représente le même ensemble. La seule façon dont deux sources pourraient être mappées sur le même nœud est si elles atteignent exactement les mêmes puits. Je pense donc qu'après un simple prétraitement de D, les problèmes seraient équivalents.

— Martin Vatshelle

Le dag D n'a en fait rien à voir avec le problème, n'est-ce pas? Vous pouvez également prendre un graphique bipartite entre S et T en entrée.

— Emil Jeřábek

Supposons que ne contient que des sources et des récepteurs, car l'entrée peut être facilement convertie en une telle entrée équivalente. $D$

Ensuite, notez que, dans toute solution pour , chaque sommet correspond à un biclique dans le graphe non orienté sous-jacent de (la biclique entre toutes les sources qui portée dans et tous les puits qui sont atteints de dans ). $D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

Je conjecture que, si est optimale, alors il contient un sommet coupe que 1: 1 correspond à une biclique optimal couvrant de . Puis, tout sommet découpé au minimum dans correspond à un biclique optimal couvrant dans . Cependant, étant donné que BICLIQUE COVER (alias BIPARTITE DIMENSION) est NP-complet, il est peu probable que votre problème admette un algorithme à temps polynomial à moins que ma conjecture échoue. $D'$ $G$ $D'$ $G$

Notez que, même si ma conjecture est vraie, techniquement cet argument ne prouve pas la dureté NP de votre problème, car la réduction n'est pas une réduction de Karp mais une réduction de Cook.

— igel
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