Prouver les limites inférieures en prouvant les limites supérieures

Le récent résultat de la borne inférieure de la complexité du circuit de Ryan Williams fournit une technique de preuve qui utilise le résultat de la borne supérieure pour prouver la complexité des bornes inférieures. Suresh Venkat dans sa réponse à cette question, Y a-t-il des résultats contre-intuitifs en informatique théorique? , a fourni deux exemples d'établissement de limites inférieures en prouvant des limites supérieures.

• Quels sont les autres résultats intéressants pour prouver la complexité des bornes inférieures qui ont été obtenus en prouvant la complexité des bornes supérieures?

• Y a-t-il une conjecture de limite supérieure qui impliquerait (ou P \ ne NP )?$NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

On pourrait inverser la question et demander quelles limites inférieures ne sont pas prouvées en prouvant une limite supérieure. Pratiquement toutes les limites inférieures de la complexité de la communication (et les limites inférieures de l'algorithme de streaming et les limites inférieures de la structure de données qui reposent sur des arguments de complexité de la communication) sont prouvées en montrant qu'un protocole de communication peut être transformé de manière constructive en un schéma de codage, la longueur du codage dépendant du complexité de communication du protocole, et la limite inférieure du protocole découle du fait que vous ne pouvez pas coder tous les messages à n bits en utilisant n-1 bits ou moins.

Les limites inférieures du circuit Razborov-Smolensky fonctionnent en montrant comment simuler des circuits à profondeur limitée par des polynômes de faible degré.

Un couple de candidats de bornes inférieures qui ne sont pas prouvées avec une borne supérieure pourrait être le théorème de la hiérarchie temporelle (bien que, pour obtenir les limites les plus strictes, il faut une machine de turing universelle efficace, qui est une tâche algorithmique non triviale) et la preuve des bornes inférieures AC0 en utilisant le lemme de commutation (mais la preuve la plus propre du lemme de commutation utilise une complexité de comptage / incompressibilité / Kolmogorov)

D'une manière étrange, le théorème du PCP lui-même est un bon exemple de preuve d'une borne inférieure via une borne supérieure. Une stratégie randomisée "efficace" pour vérifier une preuve en utilisant un nombre constant de sondes de la preuve et seulement bits aléatoires conduit à une borne inférieure pour approximer le nombre de clauses satisfaites dans une instance de 3SAT.$\log n$

La méthode d'incompressibilité est une méthode basée sur la complexité de Kolmogorov pour prouver les limites inférieures. L'une des premières applications de cette méthode a été de prouver que la reconnaissance des palindromes sur une machine de Turing avec une seule bande nécessite un temps quadratique.

En gros, l'idée de cette méthode est de décrire une procédure pour trouver une entrée en utilisant les informations contenues dans l'exécution d'un algorithme résolvant le problème que nous considérons sur cette entrée. Meilleure est la procédure, plus élevée est la borne inférieure du problème d'origine.

Bien sûr, tous les détails peuvent être trouvés dans le manuel de Li et Vitanyi .

Pour la question "borne inférieure via borne supérieure" que vous avez posée:

Le document STOC 2010 «Comment compresser la communication interactive» [BBCR10] arrive à un théorème amélioré de somme directe pour la complexité de la communication aléatoire en démontrant un protocole de compression amélioré pour la communication interactive.

Plus précisément, étant donné que deux parties calculent une fonction conjointe de leurs entrées mutuelles (c'est-à-dire un scénario de calcul interactif), elles montrent que tout protocole qui communique des bits et révèle bits de nouvelles informations aux parties impliquées peut être simulé par un nouveau protocole utilisant bits - la borne supérieure améliorée.I ˜ O ( $C$$I$$\tilde O(\sqrt{CI})$

En conséquence de cette compression de protocole améliorée, ils montrent que dans le pire des cas: étant donné toute fonction qui prend temps pour calculer individuellement, le calcul de copies de nécessite au moins time - l'amélioration borne inférieure.n k f $f$$n$$k$$f$$\sqrt{k} \cdot n$

C'est en quelque sorte différent de ce que vous avez demandé, mais comme c'est lié, j'ai pensé que je pourrais le mentionner.

Carter et Wegman (1977) ont introduit la notion de hachage universel . La notion a été utilisée dans de nombreux articles ( Sipser (1983) , Stockmeyer (1983) , Babai (1985) et Goldwasser & Sipser (1986) ) pour prouver des limites inférieures approximatives .

C'était jusqu'en 1987, au cours de laquelle Fortnow a utilisé le hachage universel pour prouver les limites supérieures approximatives . (En fait, pour fournir un protocole pour prouver les limites supérieures approximatives.)

Modifier:

Ce ne sont pas des résultats inférieurs, mais ils pourraient être utiles de toute façon:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

$P\ne NP$

$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

$P \ne NP$

Voici un exemple de Computational Complexity: A Modern Approach par Arora et Barak (page 128):

$EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$