circuit le plus petit utilisant des portes XOR

Supposons que l'on nous donne un ensemble de n variables booléennes x_1, ..., x_n et un ensemble de m fonctions y_1 ... y_m où chaque y_i est le XOR d'un sous-ensemble (donné) de ces variables. Le but est de calculer le nombre minimum d'opérations XOR que vous devez effectuer pour calculer toutes ces fonctions y_1 ... y_m.

Notez que le résultat d'une opération XOR, disons x_1 XOR x_2 peut être utilisé dans le calcul de plusieurs y_j mais est compté comme un. Notez également qu'il pourrait être utile de calculer le XOR d'une collection beaucoup plus grande de x_i (plus grande que toute fonction y_i, par exemple le calcul du XOR de tous les x_i) afin de calculer les y_i plus efficacement,

De façon équivalente, supposons que nous ayons une matrice binaire A et un vecteur X et le but est de calculer le vecteur Y tel que AX = Y où toutes les opérations effectuées dans GF (2) en utilisant un nombre minimum d'opérations.

Même lorsque chaque ligne de A a exactement k (disons k = 3), c'est intéressant. Quelqu'un connaît-il la complexité (dureté de l'approximation) de cette question?

Mohammad Salavatiopur

C'est NP-difficile. Voir: Joan Boyar, Philip Matthews, René Peralta. Techniques de minimisation logique avec applications à la cryptologie. http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

La réduction est de Vertex Cover et est très agréable.

Étant donné un graphique avec m = | E | , définissez une matrice m × ( n + 1 ) A comme: A [ i , j ] = 1 si j < n + 1 et ( i , j ) ∈ E , et A [ i , $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$ . Enautres termes, étant donné n + 1 des variables x 1 , ... , x n + 1 , nous voulons calculer les m formes linéaires x i + x j + x n + 1 pour tous ( i , j ) ∈ E .$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

Un peu de réflexion montre qu'il existe un circuit XOR pour avec des portes de ventilateur en deux calculant la transformation linéaire A avec seulement m + k portes, où k est la couverture de sommet optimale pour le graphique. (Calculez d'abord x i ′ + x n + 1 pour tout i ′ dans la couverture des sommets, en utilisant k opérations. Les formes linéaires sont ensuite toutes calculables en m opérations supplémentaires.) Il s'avère que c'est aussi un circuit de taille minimale!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

La preuve que la réduction est correcte n'est pas si agréable. J'aimerais voir une courte preuve que cette réduction est correcte.