La complexité de trouver un point Borsuk-Ulam

Le théorème de Borsuk-Ulam dit que pour chaque fonction impaire continue $g$ d'une sphère n dans un espace n euclidien, il y a un point $x_0$ tel que $g(x_0)=0$ .

Simmons et Su (2002) décrivent une méthode pour approximer le point $x_0$ utilisant le lemme de Tucker . Cependant, la complexité d'exécution de leur méthode n'est pas claire.

Supposons que l'on nous donne un oracle pour la fonction $g$ et un facteur d'approximation $\epsilon>0$ . Quelle est la complexité d'exécution (en fonction de $n$ ) de:

1. Trouver un point $x$ tel $|g(x)|<\epsilon$ ?
2. Trouver un point $x$ tel que $|x-x_0|<\epsilon$ , lorsque $x_0$ est un point satisfaisant $g(x_0)=0$ ?

Papadimitriou a montré qu'une version de ce problème est PPAD-complete dans l'article présentant cette classe, "Sur la complexité de l'argument de la parité et d'autres preuves d'existence inefficaces" .

Sa formulation du problème est la suivante:

Borsuk-Ulam. Soit un entier n et une machine de Turing calculant pour chaque point avec - n ≤ x i ≤ n et max | x i | = n (la surface de la sphère ), une fonction avec . Trouver un avec .$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Sidenote - plusieurs fois lorsque vous voyez un type de théorème à virgule fixe, PPAD est une bonne estimation de la complexité de le trouver ...)

Comment l'oracle est-il donné et que savons-nous de ? Si l'oracle est à boîte noire et que nous savons seulement que g est impair continu, alors déjà pour n = 1, nous pourrions exiger une infinité de questions ...$g$$g$$n=1$

Si l'oracle est donné par une machine Turing, alors vous obtenez que votre problème est

1. FIXP-complete,

2. PPAD-complet,

$\epsilon$