Une classe de graphes héréditaires peut-elle contenir presque tous les graphes à n sommets, mais pas tous?

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Soit une classe héréditaire de graphes. (Hereditary = fermé par rapport à la prise sous - graphes induits.) Soit désignent l'ensemble des graphes de -vertex dans . Disons que contient presque tous les graphes, si la fraction de tous les graphes verticaux tombant dans approche 1, comme . $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

Question: Est-il possible qu'une classe de graphes héréditaires contienne presque tous les graphes, mais pour chaque il y a au moins un graphe qui n'est pas dans ? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Andras Farago
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La réponse est non - pour une durée déterminée $Q$ laisse $t$ le nombre de sommets dans le graphique le plus petit $H$ pas dans $Q$ . Maintenant, considérons $n$ beaucoup plus grand que $t$ . Pour un graphe aléatoire sur $n$ sommets, la probabilité que les $t$ premiers sommets induisent $H$ ne dépend que de $t$ . Le fait de partitionner l'ensemble de sommets en $n/t$ ensembles disjoints de taille $t$ et de considérer la probabilité qu'aucun des ensembles ne soit égal à $H$ montre que la probabilité d'être dans $Q$ tend vers $0$ comme $n$ augmente.

— daniello
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Cela prouve plus fortement que toute classe héréditaire non triviale contient une fraction de tous les graphiques qui se rétrécit en

. En partitionnant

en plusieurs

-disjoints et en utilisant le même argument, il devrait être possible de renforcer cela en quelque chose de plus comme

.

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago: Une non-réponse peut également être directement déduite des résultats connus sur la conjecture Erdos-Hajnal [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture] . La borne obtenue n'est pas aussi bonne (il semble que l'on n'obtienne qu'une fraction de

.

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— Louis Esperet

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@David Eppstein: Je pense que

est précisément ce que vous obtenez en appliquant récursivement (

fois) le résultat classique suivant. S'il existe un plan projectif d'ordre

alors l'ensemble de bords de

peut être partitionné en

copies disjointes de bords de

.

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Louis Esperet

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Pour compléter la réponse de Daniel, la densité précise des classes héréditaires a été largement étudiée en combinatoire. Pour une classe de structures, la tranche non étiquetée est l'ensemble des classes d'isomorphisme des structures en qui ont sommets. La vitesse (non étiquetée) d'une classe de structures est . On note la classe des graphes par . La question est de savoir si $C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ pour toutes les classes de graphes héréditaire . $Q$

Puisque la limite est toujours 0 pour héréditaire , une question fondamentale est alors de savoir comment la fonction se comporte lui-même. Soit le nombre de partitions entières , où $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ . Il s'avère que la vitesse non marquée "saute": soitest borné polynomialement, ou autrement. $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks et Vera T. Sós, La vitesse sans étiquette d'une propriété de graphe héréditaire , Journal of Combinatorial Theory, série B, 99 9–19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( préimpression )

— András Salamon
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