Complexité de décider si une famille est une famille Sperner

On nous donne une famille $\mathcal{F}$ de $m$ sous-ensembles de {1, ..., n}. Est-il possible de trouver une borne inférieure non triviale sur la complexité de décider si $\mathcal{F}$ est une famille Sperner? La borne inférieure triviale est $O(n m)$ et je soupçonne fortement qu'elle n'est pas serrée.

$\mathcal{S}$$X$$Y$$\mathcal{S}$$X \ne Y$Y ⊈ $X \nsubseteq Y$$Y \nsubseteq X$

Vous ne pouvez pas résoudre ce problème par multiplication matricielle? Soit les ensembles , S 2 , … , S m . Prenez la matrice A pour être la matrice m × n où A i j = 1 si j ∈ S i et 0 sinon, et B pour être la matrice m × n où B i j = 1 si j ∉ S i et 0 sinon. Maintenant, A B $S_1$$S_2$$\ldots$$S_m$$A$$m \times n$$A_{ij}=1$$j \in S_i$$B$$m \times n$$B_{ij}=1$$j \notin S_i$$AB^T$a une entrée si et seulement s'il y a un ensemble de F contenu dans un autre.$0$$\mathcal{F}$

Donc, si vous prouvez une borne inférieure de pour le cas où m = θ ( n ) , vous avez prouvé la même borne inférieure pour la multiplication matricielle. Il s'agit d'un célèbre problème ouvert.$\Omega(n^{2+\epsilon})$$m = \theta(n)$

Je n'y ai pas beaucoup réfléchi, mais je ne vois aucun moyen de prouver que ce cas particulier de multiplication matricielle est essentiellement aussi difficile que le cas général; si vous avez vraiment besoin d'une borne inférieure, cela semble être le seul espoir que vous ayez d'en prouver une sans résoudre le problème de multiplication matricielle.

Sur le plan positif, cela donne des algorithmes pour ce problème qui sont meilleurs que l'algorithme naïf qui prend .$\theta(m^2n)$