Combien cela coûte-t-il de détruire tous les longs trajets dans un DAG?

Nous considérons les DAG (graphes acycliques dirigés) avec un nœud source $s$ et un nœud cible ; les arêtes parallèles joignant la même paire de sommets sont autorisées. A - coupe est un ensemble d'arêtes dont le retrait détruit toutes - chemins plus longs que ; des chemins - courts ainsi que de longs trajets «intérieurs» (ceux qui ne sont pas entre et ) peuvent survivre!$t$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$

Question: Est-il suffisant de retirer au maximum environ une portion d'arêtes d'un DAG afin de détruire tous chemins - plus longs que ? $1/k$$s$$t$$k$

Autrement dit, si $e(G)$ représente le nombre total d'arêtes dans $G$ , alors chaque DAG $G$ a-t-il une coupe $k$ avec au plus environ $e(G)/k$ arêtes? Deux exemples:

1. Si tous les $s$ - $t$ chemins ont une longueur $> k$ , alors une coupe $k$ avec $\leq e(G)/k$ bords existe. Cela est parce qu'alors il doit y avoir $k$ disjoints $k$ -cuts: juste couche les nœuds de $G$ en fonction de leur distance du nœud source de $s$ .
2. Si $G=T_n$ est un tournoi transitif (un DAG complet), alors aussi un $k$ cut avec $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$bords existe: fixer un ordre topologiquedes noeuds, les noeuds divisé en $k$intervalles consécutifs de longueur$n/k$, et supprimer toutesarêtes reliant les noeuds du même intervalle; cela détruira touschemins$s$-$t$plus longs que$k$.

Remarque 1: Une tentative naïve de donner une réponse positive (que j'ai également essayée en premier) serait d'essayer de montrer que chaque DAG doit avoir environ k coupures disjointes . Malheureusement, l'exemple 2 montre que cette tentative peut gravement échouer: via un joli argument, David Eppstein a montré que, pour k environ $k$ $k$$k$ , le grapheTnne peut pas avoir plus de quatrecoupeskdisjointes! $\sqrt{n}$$T_n$ $k$

Remarque 2: Il est important qu'une coupe doive détruire que tous les longs chemins s - t , et pas nécessairement tous les longs chemins. A savoir, il existe ¹ DAG dans lequel chaque coupe k "pure" (évitant les arêtes incidentes à s ou t ) doit contenir presque toutes les arêtes. Donc, ma question est en fait: la possibilité de supprimer également les bords incidents avec s ou t peut-elle réduire considérablement la taille d'une coupe k ? Très probablement, la réponse est négative, mais je n'ai pas encore trouvé de contre-exemple. $k$$s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$$k$

Motivation: ma question est motivée par la démonstration de limites inférieures pour les réseaux de commutation et de redressement monotones. Un tel réseau n'est qu'un DAG, dont certains bords sont étiquetés par des tests "est ?" (il n'y a pas de tests x i = 0 ). La taille d'un réseau est le nombre de bords étiquetés. Un vecteur d'entrée est accepté, s'il existe un chemin s - t dont tous les tests sont cohérents avec ce vecteur. Markov a prouvé que, si une fonction booléenne monotone f n'a pas de minterms plus court que l et pas de maxterms plus court que w , alors la taille $x_i=1$$x_i=0$$s$$t$$f$$l$$w$ est nécessaire. Une réponse positive à ma question impliquerait que des réseaux de taille d'environ k ⋅ w k sont nécessaires, si au moins w k variables doivent être mises à 0 afin de détruire tous les termes plus longs que k .$l\cdot w$$k\cdot w_k$$w_k$$0$$k$

¹ La construction est donnée dans cet article. Prenez un arbre binaire complet de log de profondeur n . Retirez tous les bords. Pour chaque nœud interne v , tracez un bord à v de chaque feuille du sous-arbre gauche de T v et un bord de v à chaque feuille du sous-arbre droit de T v . Ainsi, toutes les deux feuilles de T sont reliées par un chemin de longueur 2 dans le DAG. Le DAG lui-même a ∼ n nœuds et ∼ n log n bords, mais Ω ( $T$$\log n$$v$$v$$T_v$$v$$T_v$$T$$2$$\sim n$$\sim n\log n$ bords doivent être supprimés afin de détruire tous les chemins plus longs que$\Omega(n\log n)$ .$\sqrt{n}$

[Réponse personnelle; il s'agit d'une version raccourcie, l'ancienne peut être trouvée ici ]

Nous avons réalisé avec Georg Schnitger que la réponse à ma question est fortement négative : il y a des DAG (même de degré constant), où chaque coupe doit avoir une fraction constante de tous les bords, pas seulement une fraction d' environ 1 / k , comme dans ma question. (Un résultat légèrement plus faible selon lequel une fraction 1 / log k peut être nécessaire peut être obtenu en utilisant une construction beaucoup plus simple mentionnée dans la note de bas de page ci-dessus. Un bref compte rendu est ici ) $k$$1/k$$1/\log k$

A savoir, dans l'article "Sur la réduction de profondeur et les grilles" , Georg a construit une séquence de graphes acycliques dirigés de degré maximum constant d sur n = m 2 m nœuds avec la propriété suivante:$H_n$$d$$n=m2^m$

• Pour chaque constante il existe une constante c > 0 telle que, si un sous-ensemble d'au plus c n nœuds est supprimé de H n , le graphique restant contient un chemin de longueur d'au moins 2 ϵ m . $0\leq \epsilon < 1$$c > 0$$cn$$H_n$$2^{\epsilon m}$

Prenez maintenant deux nouveaux nœuds et t , et tracez une arête de s à chaque nœud de H n , et une arête de chaque nœud de H n à t . Le graphe résultant G n a toujours au plus 2 n + d n = O ( n ) arêtes.$s$$t$$s$$H_n$$H_n$$t$$G_n$$2n+dn=O(n)$

Pour chaque constante , il existe une constante c ′ > 0 telle que, si un sous-ensemble d'au plus c ′ n bords est supprimé de G n , le graphique restant contient un chemin s - t avec 2 ϵ m ou plus de bords. $0\leq \epsilon < 1$$c ' > 0$$c'n$$G_n$$s$$t$$2^{\epsilon m}$

Preuve: Appelons les nœuds de nœuds intérieurs de G n . Supprimer tout sous-ensemble d'au plus c ′ n bords de G n , où c ′ = c / 2 . Après cela, supprimez un nœud interne s'il était incident avec un bord supprimé. A noter qu'au plus 2 c ′ n = c n nœuds internes sont alors supprimés. Aucun des bords incidents aux nœuds survivants n'a été supprimé. En particulier, chaque nœud interne survécu est toujours connecté aux deux nœuds s et $H_n$ $G_n$$c'n$$G_n$$c'=c/2$$2c'n=cn$$s$$t$. Par la propriété ci-dessus de , il doit rester un chemin de longueur 2 ϵ m composé entièrement de nœuds internes survivants. Comme les points d'extrémité de chacun de ces chemins ont survécu, chacun d'eux peut être étendu à un chemin s - t dans G n . QED$H_n$$2^{\epsilon m}$$s$$t$$G_n$

Une conséquence est triste: il n'existe pas d'analogue du lemme de Markov pour les fonctions avec de nombreux minterms courts , même si l'ensemble des longs minterms a une structure "compliquée": aucune limite inférieure super-linéaire sur la taille du réseau ne peut alors être prouvée en utilisant cet argument "longueur fois largeur".

PS Cet argument "longueur fois largeur" ​​(lorsque tous chemins s - t sont suffisamment longs) a été utilisé auparavant par Moore et Shannon (1956). La seule différence est qu'ils ne permettent pas les rectifications (bords non étiquetés). Il s'agit donc en fait d'un "argument de Moore-Shannon-Markov".$s$$t$