La complexité de ce problème de couverture est-elle connue?

Soit un graphe. Un ensemble de sommets est appelé critique si et aucun sommet en est adjacente à exactement un sommet dans . Le problème est de trouver un ensemble de sommets de taille minimale telle que pour chaque ensemble critique . $G=(V,E)$ $X\subseteq V$ $X\neq\emptyset$ $V\setminus X$ $X$ $S\subseteq V$ $S\cap X\neq\emptyset$ $X$

Le problème a l'interprétation de propagation de rumeurs suivante: Vertex propage la rumeur à son voisin si et seulement si tous les autres voisins de sont déjà informés. La question est alors de savoir combien de sommets dois-je informer initialement pour m'assurer que tout le monde est informé à la fin. $i$ $j$ $i$

— Thomas Kalinowski
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Cela a une solution assez simple, donc le problème a peut-être plus de conditions que spécifié; en ignorant le cas particulier et si est connecté, chaque sommet avec un degré a un ensemble critique est associée, de sorte que seuls les voisins peuvent être exclusivement ° 1 sommets . Si un tel sommet existe, alors est un graphique en étoile et son centre (en tant que singleton) est l'unique minimal . Si n'est pas connecté, regardez chaque composant connecté.

X = V

$X=V$

G

$G$

v

$v$

> 1

$>1$

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$

S

$S$

G

$G$

S

$S$

G

$G$

— Joe Bebel

K_{1, n}

$K_{1,n}$

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$

n - 1

$n-1$

Oh, je vois mon interprétation erronée

— Joe Bebel

Question très intéressante, un petit problème: vous voudrez probablement exiger que vos ensembles critiques ne soient pas vides (sinon il n'y a pas de

S

$S$

— Klaus Draeger

@JoeBebel: Le problème de décision "Existe-t-il un ensemble de solutions

de taille au plus

?" est en NP. Vous pouvez vérifier si un ensemble

est une solution par l'algorithme suivant. Bien qu'il y ait un sommet

qui a exactement le voisin

l' extérieur

, ajouter

. Si

contient finalement tous les sommets, alors votre ensemble initial était une solution, sinon vous êtes coincé, et le complément de l'ensemble final est un ensemble critique, donc le

initial n'était pas une solution.

S

$S$

K

$K$

S

$S$

v \in S

$v\in S$

w

$w$

S

$S$

w

$w$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Thomas Kalinowski

Le problème est connu sous le nom de problème de propagation . Aazami a prouvé dans sa thèse de doctorat que la version pondérée est NP-complète même lorsque le graphique est planaire et que les poids des nœuds sont en . La complexité de la version non pondérée semble être un problème ouvert. $\{0,1\}$

— Thomas Kalinowski
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