Gaussiens indépendants par paire

Étant donné (iid gaussiens avec moyenne et variance ), est-il possible (comment?) D'échantillonner (pour ) tels que les sont des gaussiens indépendants par paire avec moyenne et variance . $X_1,\ldots,X_k$ $0$ $1$ $m=k^2$ $Y_1, \ldots, Y_m$ $Y_i$ $0$ $1$

derandomization pr.probability

— Kaveh
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@Suresh,

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$ donc cela ne semble pas fonctionner.

— Kaveh

Je ne sais pas pourquoi, mais je trouve la réponse de MO à cette question assez hilarante (à part le pointeur sur stats.SE): mathoverflow.net/questions/46180/…

— Suresh Venkat

Ce que je cherchais, c'était quelque chose comme prendre des combinaisons linéaires (qui ne fonctionnent évidemment pas) ou des polynômes, etc. (qui ne fonctionnent pas immédiatement) mais je ne peux pas vraiment penser à une notion raisonnable à laquelle la réponse de Shai sur mathoverflow ne répond pas.

vous devriez peut-être mettre à jour la question en indiquant la réponse sur MO?

— Suresh Venkat

Avez-vous besoin d'une distribution gaussienne conjointe? Dans l'affirmative, ce dont vous avez besoin semble impossible car une telle distribution est déterminée par sa matrice de covariance et donc, l'indépendance par paire et la pleine indépendance seraient les mêmes.

— MCH

Réponses:

La publication sur MathOverflow indique comment passer d'un petit nombre de variables aléatoires Uniform [0,1] indépendantes à un plus grand nombre de variables aléatoires Uniform [0,1] indépendantes par paire. Vous pouvez bien sûr faire des allers-retours entre Uniform [0,1] et gaussien en inversant le CDF. Mais cela nécessite une analyse numérique car le CDF n'est pas de forme fermée.

Cependant, il existe un moyen plus simple de passer du gaussien à l'uniforme. Étant donné deux Gaussiennes indépendantes , l'angle est uniforme dans la plage . $X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

De même, la méthode Box-Muller transforme deux variables Uniform [0,1] indépendantes en deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes.

En utilisant ces deux transformations, vous consommez deux gaussiens pour produire un uniforme ou deux uniformes pour produire un gaussien. Il n'y a donc qu'un facteur dans l'efficacité d'échantillonnage. De plus, aucune inversion du cdf Normal n'est requise. $O(1)$

— David Harris
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-2

Cette construction ne donne PAS de variables indépendantes par paire (en effet, ci-dessous) comme l'a demandé Anindya, mais elle donne des variables non corrélées par paire, ce qui est suffisant pour obtenir de bonnes limites de concentration pour la somme à travers l'inégalité de Chebyshev (et c'est plusieurs fois l'objectif final). $|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

Pour chaque paire distincte , soit , où est la fonction de signe. Il est clair que chaque est une variable normale avec la moyenne 0 et la variance 1. Pour voir qu'elles sont orthogonales, pour , notez que qui peut être facilement vérifié pour être égal à 0 en examinant les différents cas d'égalités possibles entre . $(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PS: Une version précédente a faussement revendiqué l'indépendance par paire.

— Arnab
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Je ne peux pas comprendre pourquoi la moyenne du produit étant zéro impliquerait l'indépendance.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Votre critique était correcte, bien sûr. J'ai encore laissé cette réponse, car je pense que c'est intéressant.

— arnab

Si vous souhaitez conserver votre message, veuillez prendre les précautions nécessaires pour éviter de dérouter les lecteurs. Vous pouvez affirmer que la version actuelle (révision 3) de votre message ne contient rien de incorrect. C'est vrai, mais la question demande quelque chose, et votre message répond à autre chose sans le dire. Veuillez comprendre que cela est extrêmement déroutant pour les lecteurs.

— Tsuyoshi Ito