Multiplication de matrice quantique?

Il ne semble pas que cela soit connu - mais y a-t-il des limites inférieures intéressantes sur la complexité de la multiplication matricielle dans le modèle informatique quantique? Avons-nous l'intuition que nous pouvons battre la complexité de l'algorithme Coppersmith-Winograd en utilisant des ordinateurs quantiques?

reference-request quantum-computing matrix-product

— Henry Yuen
source

Réponses:

Dans arXiv: quant-ph / 0409035v2, Buhrman et Spalek présentent un algorithme quantique battant l'algorithme Coppersmith-Winograd dans les cas où la matrice de sortie a peu d'entrées non nulles.

Mise à jour: Il existe également un algorithme quantique légèrement amélioré par Dörn et Thierauf .

Mise à jour: Il y a un algorithme quantique amélioré par Le Gall battant Burhman et Spalek en général.

— Martin Schwarz
source

C'était nouveau pour moi (je connais peu les résultats quantiques), mais en regardant le papier, le résultat était encore plus surprenant! Si, pour multiplications matricielles, il y a entrées non nulles dans la sortie, le produit peut être calculé en temps sub-quadratique , .

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon

Il y a une légère amélioration pour le cas spécial du produit à matrice booléenne, min { } lorsque il y a nonzeroes dans la sortie. (Il est apparu dans notre article FOCS'10 `` Subcubic Equivalences Between Path, Matrix, and Triangle Problems ''.)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

Une amélioration récente de dans le cas du produit à matrice booléenne est arxiv.org/abs/1112.5855 , avec également des limites inférieures correspondantes.

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— Abel Molina

Si vous souhaitez multiplier deux matrices et obtenir le résultat classique complet, la réponse de Martin est probablement une réponse définitive à votre question. Cependant, si vous voulez calculer quelque chose comme vous pouvez le faire de manière extrêmement efficace. Harrow, Hassidim et Lloyd ont un algorithme ( arXiv: 0811.3171 ) pour calculer qui n'est que logarithmique dans les dimensions de la matrice pour les matrices clairsemées. Il semble relativement simple d'adapter cette approche pour calculer les produits plutôt que les inverses. $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Joe Fitzsimons
source

Dans ce cas, le temps d'exécution dépendra toujours du numéro de condition des matrices, et les matrices devront avoir des entrées complexes. De plus, si X et Y sont rares, alors leur produit l'est également, et peut être estimé de manière classique avec le même type d'accélération exponentielle en utilisant un échantillonnage aléatoire.

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— Aram Harrow

@Aram: Bon point! Je sais que votre algorithme fonctionne pour les matrices clairsemées, mais j'avais l'impression qu'il pouvait également fonctionner pour certaines matrices non clairsemées. Est-ce correct?

— Joe Fitzsimons

Oui, cela fonctionne pour les matrices non clairsemées chaque fois que nous connaissons de bons moyens de simuler ces hamiltoniens. Alors peut-être que quelque chose de non trivial est possible ici.

— Aram Harrow,

@Aram: Avec l'encodage que vous utilisez, n'obtenons-nous pas également la transformée de Fourier de toutes les matrices clairsemées via le QFT?

— Joe Fitzsimons

@Joe: Je viens de le remarquer. Oui, ces matrices (que vous pouvez considérer comme étant rares dans la base de l'élan) sont également utilisables. Ce n'est pas unique à notre algorithme. Il s'agit plutôt d'une déclaration sur la classe des hamiltoniens que nous savons simuler sur un ordinateur quantique.

— Aram Harrow