Quelle était l'intention initiale pour la création du calcul lambda?

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J'ai lu qu'au départ, Church proposait le -calculus dans le cadre de ses postulats de logique $\lambda$ (qui est une lecture dense). Mais Kleene a prouvé son "système" incohérent après quoi, Church a extrait des éléments pertinents pour son travail sur la "calculabilité effective" et a abandonné ses travaux antérieurs sur la logique.

Donc , si je comprends bien, le -système et ses notations ont pris forme dans le cadre de quelque chose à voir avec la logique. Qu'est-ce que l'Église essayait initialement de réaliser et dont il a pris la décision plus tard? Quelles étaient les raisons initiales de la création de -calculus? $\lambda$ $\lambda$

— Doctorat
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1

Typo dans le titre ...

— user11153

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Il voulait créer un système formel pour les fondements de la logique et des mathématiques qui soit plus simple que la théorie des types de Russell et la théorie des ensembles de Zermelo.

L'idée de base était d'ajouter une constante au calcul lambda non typé (ou logique combinatoire) et d'interpréter comme exprimant " satisfait le prédicat " et comme exprimant " ". Avec des règles exprimant ces intentions , on peut alors interpréter la -fragment de la logique sous - jacente intuitionniste et la compréhension sans restriction, le seul problème étant que par le paradoxe de Curry, chaque est dérivable. $\Xi$ $XZ$ $Z$ $X$ $\Xi XY$ $X\subseteq Y$ ${\to}{\forall}$ $X$

Voir p. 7 de:

Cardone et Hindley, Histoire du lambda-calcul et logique combinatoire , 2006: http://www.users.waitrose.com/~hindley/SomePapers_PDFs/2006CarHin,HistlamRp.pdf

Ainsi que l'introduction à:

Barendregt, Bunder et Dekkers, Systems of Illative Combicatory Logic Complete for First-Order Propositional and Predicate Calculus , JSL 58-3 (1993): http://ftp.cs.ru.nl/CompMath.Found/ICL1.ps

— Ulrik Buchholtz
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8

"Le seul problème étant que par le paradoxe de Curry, chaque

est dérivable" :) Il pourrait être utile de rappeler ce qu'est le paradoxe de Curry: étant donné qu'il existe un terme

tel que

pour chaque

, un peut alors écrire

qui est une proposition

telle que

, donnant la même contradiction que pour le paradoxe de Russel. La non-terminaison est ici cruciale, ce qui a motivé la création d'un

-calculus simplement typé , dans lequel chaque terme se termine.

X

$X$

Y

$Y$

Y M = M (Y M)

$YM=M(YM)$

M

$M$

Y (\neg)

$Y(\neg)$

ϕ

$\phi$

ϕ \Leftrightarrow \neg ϕ

$\phi\Leftrightarrow\neg\phi$

λ

$\lambda$

— cody

2

Je ne sais pas si cela faisait partie de la motivation pour créer le calcul lambda, mais le calcul lambda a été utilisé pour résoudre le Entscheidungsproblem , posé par Hilbert en 1928. Turing a résolu indépendamment le Entscheidungsproblem en introduisant la machine Turing.

Extrait de l'article Wikipédia sur Entscheidungsproblem:

En 1936, Alonzo Church et Alan Turing ont publié des articles indépendants [2] montrant qu'une solution générale au problème Entscheidungsproblem est impossible, en supposant que la notion intuitive de "effectivement calculable" est capturée par les fonctions calculables par une machine de Turing (ou de manière équivalente, par celles exprimables dans le calcul lambda).

— littleO
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1

C'est la "conséquence" d'avoir créé le calcul Lambda plus tôt. Il vient d'en réutiliser une partie critique pour fournir une définition d'une calculabilité efficace.

— PhD