Temps de couverture des graphiques dirigés

Étant donné une marche aléatoire sur un graphique, le temps de couverture est la première fois (nombre prévu de pas) que chaque sommet est touché (couvert) par la marche. Pour les graphes non orientés connectés, le temps de couverture est connu pour être limité par . Il existe des digraphes fortement connectés avec une exponentielle de temps de couverture en n . Un exemple de ceci est le graphe constitué d'un cycle dirigé ( 1 , 2 , . . . , N , 1 ) , et les bords ( j , 1 ) , de sommets j $O(n^3)$$n$$(1, 2, ..., n, 1)$$(j, 1)$ . En partant du sommet 1 , le temps prévu pour une marche aléatoire pour atteindre le sommet n est Ω ( 2 n ) . J'ai deux questions :$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) Quelles sont les classes connues de graphes dirigés avec temps de couverture polynomial? Ces classes peuvent être caractérisées par des propriétés théoriques des graphes (ou) par des propriétés de la matrice d'adjacence correspondante (disons ). Par exemple, si A est symétrique, le temps de couverture du graphe est polynomial.$A$$A$

2) Existe-t-il des exemples plus simples (comme l'exemple de cycle mentionné ci-dessus) où le temps de couverture est exponentiel?

3) Existe-t-il des exemples avec un temps de couverture quasi-polynomial?

J'apprécierais tous les conseils pour de bonnes enquêtes / livres sur ce sujet.

Un temps de mélange clairement polynomial implique un temps de couverture polynomiale. ( En fait, pas en général. Nous avons besoin de la probabilité stationnaire au moins à chaque sommet.) Afin de vérifier l' article de Mihail conductance et la convergence de Markov chaînes à un traitement combinatoire des extenseurs qui prouve un mélange rapide de régulier graphes dirigés et chaînes de Markov générales basées sur la conductance.$1/poly(n)$

Voir également l'article Pseudorandom promenades sur des digraphes réguliers et le problème RL vs L par Reingold, Trevisan et Vadhan. Après le travail de Mihail. Ils ont défini le paramètre qui est équivalent à λ 2 ( G ) , la deuxième plus grande valeur propre en valeur absolue, lorsque le graphique G est réversible dans le temps, et reste bien défini pour les chaînes de Markov générales. Ce paramètre est ensuite utilisée pour limiter le temps de mélange de G .$\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

Colin Cooper et Alan Frieze ont un ensemble de résultats dans le contexte de digraphes aléatoires qui pourraient être intéressants. Ils étudient les propriétés d'une marche aléatoire simple sur le graphe orienté aléatoire lorsque n p = d log n , d > 1 . Ils ont prouvé que:$D_{n,p}$$np=d \log n, d>1$

• Pour , whp le temps de couverture de D n , p est asymptotique à d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n . Si d = d ( n ) → ∞ avec n , le temps de couverture est asymptotique à n log n .$d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$$n \log n$

• Si et d > 1 alors whp C G n , p ∼ d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n .$p = d \log n/n$$d>1$$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• Soit et x désigne la solution dans ( 0 , 1 ) de x = 1 - e - d x . Soit X g la composante géante de G n , p , p = d / n . Alors whp C X g ∼ d x ( 2 - x $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$.$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• Si est une constante et G n , r désigne un graphe aléatoire aléatoire r sur l'ensemble de sommets [ n ] avec r ≥ 3 alors whp C G n , r ∼ r - $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$.$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$

• Si est une constante et G m désigne un graphique d'attachement préférentiel en degré moyen 2 m alors whp C G m ∼ 2 $m \geq 2$$G_m$$2m$.$C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$

• Si et G r , k est un graphe géométrique aléatoire dans R k de taille de boule r tel que le degré attendu d'un sommet est asymptotique à d log n , alors whp C G r , k ∼ d log ( $k \geq 3$$G_{r,k}$$\mathcal{R}^k$$r$$d \log n$.$C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

Voir Cooper, C., & Frieze, A. Distribution stationnaire et temps de couverture des marches aléatoires sur des digraphes aléatoires. Journal of Combinatorial Theory, série B. (2011).