Applications de la topologie à l'informatique

J'aimerais écrire un sondage sur les applications de la topologie en informatique. Je compte couvrir l’histoire des idées topologiques en informatique et souligner quelques développements récents. Il serait extrêmement utile que quiconque puisse donner son avis sur l’une des questions ci-dessous.

1. Existe-t-il des documents ou des notes décrivant la chronologie de l’utilisation de la topologie en informatique?

2. Quelles sont les applications les plus importantes des résultats en topologie en informatique?

3. Quels sont les domaines de travail actuels les plus intéressants qui utilisent la topologie pour mieux comprendre le calcul?

Merci!

Personnellement, je pense que l'application la plus intéressante de la topologie a été le travail effectué par Herlihy et Shavit. Ils ont utilisé la topologie algébrique pour caractériser le calcul distribué asynchrone et ont fourni de nouvelles preuves de résultats connus importants et ont résolu un certain nombre de problèmes ouverts de longue date. Ils ont remporté le prix Godel 2004 pour ce travail.

"La structure topologique du calcul asynchrone" de Maurice Herlihy et Nir Shavit, Journal de l'ACM, Vol. 46 (1999), 858-923,

La topologie est une discipline mature avec des sous-champs variés comprenant une topologie sans fondement géométrique, algébrique, métrique, à points et (l'auto-dévalorisation). L'informatique est également assez large et comporte de nombreux sous-domaines mathématiques. Je m'attendrais donc à de nombreuses applications des idées topologiques en CS. Marshall Stone a déclaré "toujours topologiser", et les informaticiens possédant les connaissances requises ont souvent. Assez bla. Quelques exemples

Ces exemples ne concernent pas uniquement les problèmes difficiles rencontrés par la topologie. Parfois, une notion topologique est très bien transférée dans un paramètre CS ou sert de base à un sous-domaine de CS.

1. Le théorème de compacité de la logique propositionnelle est une conséquence du théorème de Tychonoff. La compacité pour la logique du premier ordre est généralement prouvée différemment. La compacité est un outil important dans la théorie des modèles classiques.

2. Le théorème de représentation de Stone pour les algèbres booléennes concerne des modèles de logique propositionnelle, des algèbres booléennes et certains espaces topologiques. Les résultats de la dualité de type pierre ont été dérivés pour les structures utilisées en logique algébrique et en sémantique de langage de programmation.

3. Nick Pippenger a appliqué le théorème de Stone à l'algèbre booléenne des langages normaux et utilisé la topologie pour prouver plusieurs faits sur les langages normaux. Voir le commentaire de Jean-Eric Pin pour des travaux plus récents sur la topologie en théorie des langues.

4. Dans les méthodes formelles, il y a les notions de propriété de sécurité et de vie. Chaque propriété de temps linéaire peut être exprimée comme l'intersection d'une propriété de sécurité et d'une propriété d'activité. La preuve utilise une topologie élémentaire.

5. Martín Escardó a développé des algorithmes et des programmes écrits pour rechercher des ensembles infinis. Je pense que la compacité est un élément clé de ce travail.

6. Les travaux de topologues polonais (tels que Kuratowski) nous ont fourni des fermetures. Les opérateurs de fermeture sur les réseaux constituent un élément crucial de la théorie de l'interprétation abstraite, qui sous-tend l'analyse de programme statique.

7. Les opérateurs de fermeture et autres idées topologiques constituent la base de la morphologie mathématique.

8. La notion d’opérateurs intérieurs de l’école polonaise joue également un rôle important dans l’axiomatisation des logiques modales.

9. Une grande partie de l'informatique est basée sur des structures à base de graphes. Certaines applications nécessitent des notions de connectivité et de flux plus riches que celles fournies par les graphiques et la topologie est la prochaine étape naturelle. Ceci est ma lecture des automates de dimension supérieure de Van Glabbeek dans la théorie de la simultanéité et de l'application par Eric Goubault de la topologie géométrique à la sémantique des programmes concurrents.

10. L’application qui reçoit le plus de presse est probablement l’application de la topologie (initialement algébrique, bien que des présentations combinatoires existent également) pour caractériser certains scénarios de tolérance aux pannes dans l’informatique répartie. Outre Herlihy et Shavit mentionnés ci-dessus, Borowsky et Gafni, ainsi que Saks et Zaharouglou ont également présenté un rapport sur la première percée de ce type. Le cadre de calcul asynchrone produisait davantage de tels résultats.

11. Le théorème à points fixes de Brouwer a donné lieu à plusieurs problèmes que nous étudions. Plus récemment, nous avons étudié la théorie des jeux algorithmique, la classe de complexité PPAD et la classe de complexité FixP des problèmes de points fixes.

12. Le théorème de Borsuk-Ulam a plusieurs applications aux graphes et aux intégrations métriques. Ceux-ci sont couverts dans le livre de Jiří Matoušek.

Ce sont des maigres choix pour ce qui est là-bas. Bonne chance!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-calcul. La sémantique s'appuie fondamentalement sur la notion d'approximation, donnée par l'ordre, et sur la solution d'équations la moins fixe, et il est généralement garanti que les solutions existent.

Des liens avec l'interprétation abstraite, l'analyse et la vérification de programmes sont issus de la sémantique dénotationnelle.

Les recherches actuelles incluent la fourniture de sémantique dénotationnelle pour la simultanéité et les langages quantiques.

Abramsky et Jung décrivent de manière intéressante les idées de base: la théorie des domaines .

Les limites sur le nombre de composants connectés, et plus généralement les nombres de Betti, de variétés semi-algébriques et d'arrangements d'hyperplan (et leurs compléments) ont été utilisées pour plusieurs limites inférieures sur des arbres de calcul et de décision algébriques. Pour quelques grandes références, voir:

Michael Ben-Or, Limite inférieure des arbres de calcul algébriques, STOC 1983, p. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Complexité de l'arbre de décision et nombres de Betti, J. Comput. Système Sci. 55 (1997), no. 1, partie 1, pages 36 à 43 (STOC 1994).

Anders Bjorner et Laszlo Lovasz, Arbres décisionnels linéaires, arrangements de sous-espaces et fonctions de Mobius, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), no. 3, 677-706.

Dans une veine différente mais quelque peu liée, Smale a utilisé la topologie de manière assez intéressante (en particulier la cohomologie du groupe de tresses) pour réduire la complexité de la recherche de racines dans le modèle de Blum-Shub-Smale:

Smale, S. Sur la topologie des algorithmes, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987.

$2^{\omega}$

Ceci est lié à la réponse de Dave et à la théorie des domaines. L'argument de base est que la calculabilité est basée sur des opérations locales et des observations finies . Vous pouvez considérer la calculabilité comme une notion raffinée de la topologie. L’exemple le plus clair est que:

Toutes les fonctions calculables (Oracle Turing) sont continues. Par contre, chaque fonction continue est oracle Turing calculable avec un oracle approprié.

Vous pouvez trouver plus dans le livre de Klaus Weihrauch "Analyse Computable". Vous voudrez peut-être aussi jeter un coup d'œil au bel ouvrage de Steven Vickers intitulé "Topology via Logic".

Deux autres articles qui pourraient être pertinents pour votre enquête ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Une approche topologique de la reconnaissance, ICALP 2010, Partie II, Notes de cours en informatique 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Dualité et théorie équationnelle des langages normaux, Prix du meilleur article par ICALP 2008, Piste B, ICALP 2008, Deuxième partie, Notes de cours en informatique 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

N'oubliez pas la conjecture de Kneser et la preuve Kahn / Saks / Sturtevant de la conjecture Aandera-Rosenberg-Karp.

Je n'ai pas vu de travaux de Robert Ghrist , autrefois à l'Illinois, mais maintenant à U Penn, appliquant la topologie à des réseaux de capteurs et à la robotique. Voici une belle interview.

Également très lié aux travaux de Gunnar Carlsson et al sur l’application de la topologie à l’analyse de données .

Pas le STOC / FOCS TCS peut-être, mais bien l'informatique.

Les théories permettant de comprendre la concurrence et la modélisation des calculs simultanés sont mieux comprises topologiquement. Outre le célèbre travail de Herlihy et Shavit sur la structure topologique de la calculabilité asynchrone mentionné dans une réponse précédente, Eric Goubault a également travaillé sur la modélisation de la simultanéité avec la géométrie et le travail de Pratt sur les applications des espaces de Chu pour la simultanéité au groupe Concurrence de Stanford est également intéressant. bien que je ne connaisse pas leur travail.

Tous les travaux entrepris par Kitaev sur l’approche topologique d’un ordinateur quantique à tolérance de pannes. Voir l'article original de Kitaev ou, par exemple, les notes de conférence de John Preskill .

Personne n'a encore mentionné la topologie algébrique dirigée , qui a en fait été développée pour fournir une boîte à outils topologique algébrique appropriée pour l'étude de la simultanéité.

Il existe également plusieurs approches topologiques de dimensions réduites à des sujets de la théorie du calcul, toutes assez nouvelles:

• Différentes approches du calcul quantique anyonique tolérant aux fautes basé sur la théorie des tresses. Voir par exemple ICI et ICI . Également aux réseaux de calculs quantiques adiabatiques ICI .
• Formalismes schématiques basés sur la topologie pour le calcul lambda (par exemple, ICI , pages 46-48 et ICI ) et pour le calcul de Milner ( IC ).
• Utilisation de la concaténation des enchevêtrements colorés pour modéliser la récursion et les chaînes de Markov. Voir par exemple ICI et ICI . En fait, il est prouvé (non publié) que tout calcul de machine de Turing et tout réseau de neurones de premier ordre récurrent peuvent être modélisés de cette manière.
• Il existe un formalisme théorique de catégorie supérieure pour le calcul quantique dans lequel les diagrammes topologiques représentent les calculs, et les diagrammes équivalents sur le plan topologique représentent différentes procédures avec un contenu de calcul identique. Voir ICI .

Quelques applications aux embeddings métriques.

Vérifiez ce livre de Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Consultez également ces papiers:

• Bi-Lipschitz incorporant des espaces euclidiens de faible dimension, J. Matousek (1990) (Il utilise le théorème de van Kampen pour prouver une limite inférieure)
• Inapproche de la métrique dans R ^ d, J. Matousek et A. Sidiropoulos

lis ce livre:

Voir sa page Web archivée

Consultez ce livre, Complexité informatique: une perspective quantitative, Il étudie la taille de certaines classes de complexité à l'aide d'outils topologiques limités par des ressources.

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