Hiérarchie uniforme des problèmes couvrant la complexité et les hiérarchies de calcul

Quelqu'un connaît-il un ensemble de problèmes qui varient uniformément et qui couvrent l'une des hiérarchies "intéressantes" de complexité et de calculabilité? Par intéressant, je veux dire, par exemple, la hiérarchie polynomiale, la hiérarchie arithmétique ou la hiérarchie analytique. Ou peut-être (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP, $\ldots$

Plus concrètement: vous pouvez donner un ensemble uniforme de problèmes qui caractérisent la hiérarchie arithmétique: . Mais ceux-ci ne sont pas toujours les plus utiles pour réduire les problèmes réels. $0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

D'un autre côté, le livre de Harel, Kozen et Tiuryn présente un ensemble de problèmes de pavage variables qui sont NP, $\Pi^0_1$ , $\Sigma^0_2$ et $\Sigma^1_1$ complets. Les problèmes sont utiles pour montrer les réductions, mais il n'est pas tout à fait clair s'ils se généralisent uniformément pour couvrir les autres niveaux des hiérarchies dans lesquelles ils se trouvent.

Quelqu'un connaît-il un tel ensemble de problèmes concrets et uniformes qui s'étendent sur une hiérarchie?

EDIT: Juste pour clarifier, je sais que les 3 hiérarchies que je donne avant tout ont des définitions standard en termes de force de quantification alternée. Ce n'est pas ce que je recherche. Je cherche quelque chose de différent, comme un jeu sur un graphique ou un puzzle joué avec des pavages.

cc.complexity-theory computability

— Mark Reitblatt
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Il existe des problèmes basés sur les graphes (par exemple l'accessibilité) et des problèmes basés sur la logique (évaluation d'un circuit ou d'une formule de premier ordre). ps: avez-vous essayé de faire du carrelage un jeu entre deux joueurs avec un nombre spécifié de tours ou une puissance de calcul limitée? btw, cela pourrait aider si vous clarifiez ce que vous entendez par les mots "uniforme" et "béton".

— Kaveh

Oui, il y a des problèmes de graphes ou de circuits qui ont des variations complètes pour quelques niveaux. Mais pouvez-vous trouver des analogues complets pour tous les niveaux d'une hiérarchie? Par uniforme, je veux dire que pour monter dans la hiérarchie, il suffit de modifier certains paramètres d'une manière uniforme. Par exemple, vous augmentez le nombre de X de un, où X est un paramètre du problème. Par concret, je veux juste dire officieusement accessible. Je ne considère pas que les hiérarchies du problème d'arrêt soient particulièrement accessibles. D'un autre côté, quelque chose comme SAT ou QBF est plus concret.

— Mark Reitblatt

Poursuivant les commentaires de Kaveh: un tel langage est également susceptible d'être p-isomorphe à TQBF, sauf si quelqu'un prévoit de prouver que la conjecture d'isomorphisme de Berman-Hartmanis échoue à un niveau (ou à tous) de PH. Dans ce cas, ce serait un déguisement très mince, car il ne s'agirait que d'un ré-encodage de TQBF, c'est-à-dire que vous avez noté les formules propositionnelles quantifiées en utilisant un encodage booléen différent.

— Joshua Grochow

@Mark: Je n'ai pas une bonne intuition pour la conjecture d'isomorphisme. Le document original de BH suggérait que cela pourrait être vrai; Joseph et Young ont ensuite suggéré que les fonctions unidirectionnelles pouvaient montrer que c'était faux (essentiellement: appliquer une fonction unidirectionnelle à SAT pour obtenir un ensemble NP-complet qui n'est probablement pas isomorphe à SAT), mais Rogers a ensuite montré des mondes relativisés réalisant tout quatre possibilités: existence de fonctions à sens unique et conjecture d'isomorphisme. Je ne sais donc pas s'il y a vraiment consensus à l'heure actuelle. Voici l'article de Rogers: dx.doi.org.proxy.uchicago.edu/10.1006/jcss.1997.1486

— Joshua Grochow

(Le document de John Rogers semble être environ 2 ans plus tard que la discussion sur le blog de CC, mais je ne connais pas l'histoire exacte de la date à laquelle il a obtenu le résultat, par opposition à sa première publication.)

— Joshua Grochow

[S'appuyant sur la perspicacité de Kaveh dans les commentaires.] Il semble peu probable que quelqu'un puisse trouver une famille de problèmes qui soit significativement différente de la formule booléenne quantifiée, sans réfuter l'analogue PH de la conjecture d'isomorphisme de Berman-Hartmanis. Sans cela, tout problème que vous rencontrez serait non seulement équivalent à , mais en fait isomorphe à celui-ci. Une façon de définir l'isomorphisme entre deux langues ici est de prendre un seul langage abstrait, mais de coder ses objets (dans ce cas, des formules booléennes quantifiées) en utilisant deux codages booléens différents. $QBF_k$

D'un autre côté, l'isomorphisme n'est pas nécessairement un bon juge de ce qui est utile aux gens pour trouver des preuves. Après tout, dans la hiérarchie arithmétique, le théorème d'isomorphisme de Myhill prouve l'analogue arithmétique de la conjecture d'isomorphisme BH (en fait, c'est l'histoire à l'envers puisque BH a été motivé par Myhill). Pourtant, comme le souligne la question, il existe plusieurs caractérisations "d'apparence différente" de différents niveaux, dont certaines sont plus utiles pour les preuves que d'autres.

Bien qu'il semble peu probable que quiconque propose une famille de langues aussi uniforme pour chaque niveau de PH, les deux enquêtes ( une , deux ) de Schaefer et Umans discutent de problèmes naturels qui au moins "semblent différents" de QBF pour les premiers niveaux de PH.

— Joshua Grochow
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Belle connexion à BH. :)

— Kaveh