Graphiques cubiques de partition des bords en griffes et chemins

Encore une fois un problème de partitionnement des bords dont je suis curieux de complexité, motivé par une question précédente .

Entrée: un graphe cubique $G=(V,E)$

Question: existe-t-il une partition de en E 1 , E 2 , … , E s , de sorte que le sous-graphe induit par chaque E i est soit une griffe (c'est-à-dire K 1 , 3 , souvent appelé une étoile) ou un chemin à 3 (c'est-à-dire P 4 )?$E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$$3$$P_4$

Je pense avoir vu un jour un document où ce problème s'est avéré être NP-complet, mais je ne le trouve plus, et je ne me souviens pas si ce résultat s'appliquait aux graphiques cubiques. Sur une question connexe, je sais que le partitionnement des bords d'un graphe biparti en griffes est NP-complet (voir Dyer et Frieze ). Quelqu'un at-il une référence pour le problème que je décris, ou quelque chose de connexe (c'est-à-dire le même problème sur une autre classe de graphes, que je pourrais ensuite essayer de réduire en graphes cubiques)?

Ce n'est pas une réponse à la complexité du problème, mais cela montre au moins que la complexité a une chance d'être non triviale: c'est un exemple de graphique cubique qui ne peut pas être partitionné en chemins et en griffes.

_{(source: uci.edu )}

Dans chacun de ses trois lobes, toute partition en chemins et griffes ne peut utiliser que six des sept bords. Les six bords centraux restants prennent la forme d'une griffe avec chaque bord subdivisé, qui ne peut pas être divisé en chemins et griffes.

ETA : Le graphique ci-dessus est plus célèbre comme exemple de graphique cubique sans correspondance parfaite. Mais chaque graphique cubique avec une correspondance parfaite a une décomposition en chemins (sans même utiliser de griffes). Selon le théorème de König, cela inclut tous les graphiques bipartites cubiques et, selon le théorème de Petersen, tous les graphiques cubiques sans pont, répondant à une question de Joseph Malkevitch dans les commentaires.

La preuve est très simple: si M est une correspondance parfaite dans un graphe cubique, la suppression de M laisse un graphe 2-régulier, c'est-à-dire une union disjointe de cycles. Orientez arbitrairement chaque cycle et attachez chaque bord uv de M aux bords de cycle qui suivent u et v dans les orientations de leurs cycles.

Dans l'autre sens, s'il existe une décomposition en chemins, alors il existe une correspondance parfaite: les bords du milieu de chaque chemin doivent être une correspondance car deux bords du milieu ne peuvent pas partager un sommet de degré trois.

(Avertissement: cette idée était peut-être déjà présente dans la conférence invitée de Carsten Thomassen au GD 2010, qui portait sur ce type de problème de décomposition des graphiques.)

(ajout à l'avertissement (par Anthony Labarre): "l'idée d'orientation" pour passer d'une correspondance parfaite à une partition en chemins apparaît dans cet article de Jünger, Reinelt et Pulleyblank , qui l'attribuent à WH Cunningham.)

$k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

Ce n'était pas vraiment la fin de l'histoire: si le graphique cubique est bipartite, il est facile de partitionner son ensemble de bords en utilisant uniquement des griffes, en sélectionnant un ensemble de la bipartition et en en faisant un ensemble de "centres de griffes". Le problème général est en effet difficile, ce qui peut être prouvé à l'aide d'une réduction de la SATISFIABILITÉ CUBIC PLANAR MONOTONE 1-EN-3. Tous les détails sont librement accessibles sur arxiv .

Peut-être que ce document peut être intéressant:

Kleinschmidt, Peter Partitions régulières de graphiques réguliers. Canad. Math. Taureau. 21 (1978), no. 2, 177–181.

Il traite des graphes qui peuvent être écrits comme l'union de "Z-chemins" de longueur 3. (Spécifiquement, graphes planaires, 3-valents, 3-connectés cubiques 3-polytopes.)