Spécification minimale de la théorie des types de Martin-Löf

Je lis la présentation formelle de la théorie des types de Martin-Löfs (annexe du livre HoTT ). Les auteurs introduisent une hiérarchie d'univers, puis et également W -types ainsi que des nombres naturels N (inductivement via 0 et s u c c ). Finalement, ils ajoutent également des types inductifs plus élevés .$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

Mais alors je me demande pourquoi il est nécessaire de faire dans la spécification de la théorie. Les types de données 1 et + et algébriques , dans l'incarnation d'avoir des types W , ne suffisent-ils pas pour le configurer? Par exemple avec l' approche d' algèbre initiale . (Ou du moins après que nous passons de MLTT à HoTT, nous avons des types inductifs - après tout, les entiers Z émergent comme un groupe d'homotopie de type de cercle S dans la théorie.)$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

Ou cela a-t-il à voir avec notre besoin d'avoir une récursion primitive depuis le début, qui est définie juste à côté de dans la présentation? C'est une idée que j'ai parce que je ne sais pas très bien comment "la définition est définie" dans ce cadre, ou comment l'extension du langage fonctionne, formellement. Je pourrais ajouter que je reconnais qu'au moins une notion informelle de nombres et "plus grand" est déjà utilisée lorsque la hiérarchie des univers est définie.$\mathbb N$

Dans le cas où l'on peut épargner et que la spécification n'est tout simplement pas minimale, y a-t-il d'autres éléments que l'on pourrait, en principe, supprimer? Par exemple, je pouvais imaginer 2 puis + venant d'une combinaison de Π , Σ , 0 , 1 , mais je n'ai pas pu le faire.$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

Le but du système décrit en annexe du livre HoTT est de présenter quelque chose qui correspond à ce qui est utilisé par le livre. Le livre se veut éducatif. Ce serait donc une mauvaise idée de tout faire de façon minimaliste. Par exemple, nous introduisons séparément car il est instructif de voir comment fonctionnent les constructions inductives dans un cas familier.$\mathbb{N}$

Vous avez parfaitement raison, pour lancer des types inductifs à partir de types généraux, vous avez juste besoin de 0 et 2 . Vous obtenez immédiatement 1 comme 0 → 0 , et vous obtenez + de 2 et Σ . Une fois que vous avez cela, vous obtenez toutes les sommes finies 1 + 1 + ⋯ + 1 . À ce stade, il est facile de faire les types de données algébriques habituels.$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

Si vous laissez tomber , vous commencez donc à partir de Π , Σ , 1 et 2 , alors vous ne pouvez pas récupérer 0 car chaque type que vous créez sera habité.$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

Supposons que vous n'ayez que , Σ , 0 et 1 . Ensuite, vous ne pouvez pas faire 2 car vous pouvez montrer que chaque construction que vous faites vous donne 0 ou 1 . En fait, vous ne pouvez pas du tout créer de famille dépendante intéressante. Une grande famille de types qui est fermé sous Π , Σ , 0 et 1 , mais ne contient pas 2 est le ( - 1 ) -types (propositions).$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$