Où est explorée la paramétricité relationnelle dans les modèles d'hyperdoctrine ou de topos?

Reynolds a proposé à l'origine une sémantique relationnelle pour le calcul lambda polymorphe du second ordre [1]. Cependant, il a montré plus tard [2] que cette approche était incompatible avec la théorie des ensembles classique. Pitts a décrit le cadre des modèles d'hyperdoctrine et des modèles topos [3] qui sont cohérents avec la logique constructive.

Des modèles d'hyperdoctrine et de topos probablement relationnels ont ensuite été développés. Où puis-je les lire?

• [1] Types, abstraction et polymorphisme paramétrique
• [2] Le polymorphisme n'est pas une théorie des ensembles
• [3] Le polymorphisme est théorique, constructivement

• Pour des raisons techniques, il n'y a pas eu beaucoup de travail sur les modèles de topos paramétriques. La logique interne d'un topos est une forme de théorie des ensembles, et l'indexation imprédicative de type F et l'axiome de l'ensemble sont incompatibles. Voir les types de puissance non triviaux d' Andy Pitts ne peuvent pas être des sous-types de types polymorphes :

  Cet article établit une nouvelle relation limitative entre le calcul lambda polymorphe et le type de théorie de type d'ordre supérieur qui s'incarne dans la logique des topos. Il est montré que toute incorporation dans un topos de la catégorie fermée cartésienne des types (fermés) d'un modèle du calcul lambda polymorphe doit placer les types polymorphes bien à l'écart des types de puissance, P (X), des topos, dans le sens que P (X) est un sous-type de type polymorphe uniquement dans le cas où X est vide (et donc P (X) est terminal). Comme corollaires, nous obtenons des renforcements du résultat de Reynolds sur la non-existence de modèles théoriques de polymorphisme.

  Par conséquent, même si vous pouvez donner à un univers une interprétation des types de F en logique topos, vous ne pouvez pas le laisser interagir de manière intéressante avec l'univers complet des ensembles. Cependant, tout n'est pas perdu!

  1. $F_\omega$

  2. Une autre réaction au résultat de Pitts est de ne pas travailler avec une théorie des ensembles, mais une théorie de type dépendante. Puisqu'il n'y a aucun ancien type de puissance dans la théorie des types dépendants, vous n'avez pas à vous soucier de l'interaction des types de puissance et du polymorphisme. Voir Atkey, Ghani et Johann's A Relationalally Parametric Model of Dependent Type Theory .

• Cependant, il n'y a pas de tels obstacles à la construction de modèles d'hyperdoctrine, où les termes du système F sont des objets de la logique. La recherche dans ce sens a probablement été initiée par Abadi et Plotkin dans leur article fondateur A Logic for Parametric Polymorphism . Lars Birkedal et ses collaborateurs ont beaucoup travaillé sur la formulation de modèles catégoriques pour cette logique et des logiques similaires --- voir en particulier Birkedal, Møgelberg et les modèles théoriques de catégorie de Petersen de Linear Abadi et Plotkin Logic , qui donne une logique pour raisonner sur le système linéaire F , plus une preuve qu'il est solide et complet par rapport à une certaine classe de modèles catégoriels.