Quel est le minimum sur toutes les distributions de vecteurs unitaires de la variance du produit scalaire des vecteurs?

J'essaie de trouver une distribution sur vecteurs aléatoires, disons , sur la sphère de l'unité dimensionnelle (où ) qui minimise soumis à la contrainte \ mathbb {E} [x_i ^ Tx_j] = 0 .$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

J'ai essayé quelques distributions et presque toutes ont la variance $1/k$ . Par exemple, à la fois la distribution dans laquelle chaque coordonnée de chaque $x_i$ est indépendamment et uniformément choisie parmi $\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$ et la distribution dans laquelle chaque $x_i$ est un vecteur uniforme indépendant sur la sphère unité $k$ dimensionnelle a la variance $1/k$ .

Est - $1/k$ la variance minimale entre toutes les distributions?

Je vais présenter une formulation équivalente mais plus simple du problème, et montrer une borne inférieure de ( n / k - 1) / ( n −1). Je montre également une connexion à un problème ouvert d'informations quantiques. [Modifier dans la révision 3: dans les révisions précédentes, j'ai affirmé qu'une caractérisation exacte des cas dans lesquels la limite inférieure illustrée ci-dessous est probablement difficile à réaliser car une question analogue dans le cas complexe inclut un problème ouvert concernant les SIC-POVM dans informations quantiques. Cependant, cette connexion aux SIC-POVM était incorrecte. Pour plus de détails, voir la section «Connexion incorrecte aux SIC-POVM dans les informations quantiques» ci-dessous.]

Formulation équivalente

Tout d'abord, comme cela a déjà été souligné dans la réponse de daniello, notez que Var ( x _i ^T x _j ) = E [( x _i ^T x _j ) ² ] - E [ x _i ^T x _j ] ² = E [( x _i ^T x _j ) ² ]. Donc, dans le reste de la réponse, nous oublions la variance et minimisons plutôt max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ].

Ensuite, une fois que nous décidons que notre objectif est de minimiser max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ], nous pouvons ignorer la contrainte que E [ x _i ^T x _j ] = 0. En effet, si nous avons vecteurs unitaires x ₁ ,…, x _n , alors nous pouvons nier chacun d'eux indépendamment avec une probabilité 1/2 pour satisfaire E [ x _i ^T x _j ] = 0 sans changer la valeur de la fonction objectif max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j) ² ].

De plus, changer la fonction objectif de max _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] à (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] ne modifie pas la valeur optimale. Ce dernier est tout au plus le premier car la moyenne est tout au plus le maximum. Cependant, nous pouvons toujours faire les valeurs de E [( x _i ^T x _j ) ² ] pour différents choix de ( i , j ) ( i ≠j ) égal en permutant au hasard les n vecteurs x ₁ ,…, x _n .

Donc pour tout n et k , la valeur optimale du problème en question est égale au minimum de (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] où x ₁ ,…, x _n sont des variables aléatoires qui prennent comme valeurs des vecteurs unitaires dans ℝ ^k .

Cependant, par linéarité de l'espérance, cette fonction objectif est égale à la valeur attendue E [(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² ]. Le minimum étant au maximum la moyenne, il n'est plus nécessaire de considérer les distributions de probabilité. Autrement dit, la valeur optimale du problème ci-dessus est égale à la valeur optimale des éléments suivants:

Choisissez les vecteurs unitaires x ₁ ,…, x _n ∈ ℝ ^k pour minimiser (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² .

Borne inférieure

En utilisant cette formulation équivalente, nous prouverons que la valeur optimale est au moins ( n / k - 1) / ( n −1).

Pour 1≤ i ≤ n , soit X _i = x _i x _i ^T le projecteur de rang 1 correspondant au vecteur unitaire x _i . Ensuite, il soutient que ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j ).

Soit Y = ∑ _i X _i . Ensuite, il considère que ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = ∑ _{i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n .

L'inégalité de Cauchy – Schwarz implique que Tr ( Y ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / k , et donc ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = Tr ( Y ² ) - n ≥ n ² / k - n . En divisant par n ( n −1), on obtient que la valeur objective est au moins ( n / k - 1) / ( n −1).

En particulier, lorsque n = k +1, la réponse de daniello se situe dans un facteur 2 par rapport à la valeur optimale.

Quand cette limite inférieure peut-elle être atteinte?

La réalisation de cette limite inférieure ( n / k - 1) / ( n - 1) est équivalente à faire Y = ( n / k ) I . Je ne connais pas la caractérisation exacte quand elle est réalisable, mais les conditions suivantes existent suffisantes:

• Lorsque n = k +1, cela peut être atteint en considérant k +1 vecteurs unitaires qui forment un k -simplex régulier centré à l'origine, passant de 2 / ( k ( k +1)) dans la réponse de daniello au 1 / k optimal ² .
• Lorsque n est un multiple de k , il est clairement réalisable en fixant une base orthonormée de ℝ ^k et en affectant chacun des vecteurs de base à n / k de v ₁ ,…, v _n .
• Plus généralement que le dernier point, s'il est réalisable avec un certain choix de k et à la fois n = n ₁ et n = n ₂ , alors il est également réalisable pour le même k et n = n ₁ + n ₂ . En particulier, elle peut être atteinte si n = a k + b où a et b sont des entiers satisfaisant a ≥ b ≥0.

Bien que je n'aie pas vérifié les détails, il semble que tout modèle 2 sphérique donne une solution atteignant cette limite inférieure.

Connexion incorrecte aux SIC-POVM dans les informations quantiques

Dans des révisions antérieures, j'ai déclaré:

Je soupçonne que répondre complètement à cette question est une question difficile. La raison en est que si nous considérons plutôt l'espace vectoriel complexe ℂ ^k , cette question est liée à un problème ouvert dans l'information quantique.

Mais cette relation était incorrecte. Je vais vous expliquer pourquoi.

Plus précisément, considérez le problème suivant:

Choisissez les vecteurs unitaires x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k pour minimiser (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} | x _i ^* x _j | ² .

La borne inférieure ci-dessus est également valable dans cette version complexe. Considérons le cas où n = k ² dans la version complexe. La borne inférieure est alors égale à 1 / ( k +1).

Jusqu'à présent, c'était correct.

Un ensemble de k ² vecteurs unitaires x ₁ ,…, x _{k ²} ∈ ℂ ^k atteignant la borne inférieure est appelé SIC-POVM en dimension k ,

Cette partie était incorrecte. Un SIC-POVM est un ensemble de k ² vecteurs unitaires x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^k pour lesquels | x _i ^* x _j | ² = 1 / ( k +1) pour tout i ≠ j . Notez qu'ici, l'exigence doit être valable pour toutes les paires i ≠ j , et pas seulement la moyenne sur toutes les paires i ≠ j . Dans la section «Formulation équivalente», nous avons montré l'équivalence entre la minimisation du maximum et la minimisation de la moyenne, mais cela était possible car x ₁,…, X _n étaient des variables aléatoires qui y transportaient des vecteurs unitaires. Ici x ₁ ,…, x _{n ne} sont que des vecteurs unitaires, nous ne pouvons donc pas utiliser la même astuce.

$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

$x_i$