Relâcher les contraintes

J'ai une question de faisabilité qui peut être formulée comme suit. On me donne un point dans un espace vectoriel dimensionnel, et je veux trouver le point le plus proche de qui satisfait un ensemble de " contraintes" de la forme $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

Étant donné un ensemble , au plus l'un des peut être différent de zéro. $S \in [1\ldots d]$ $\{q_j, j \in S\}$

La notion de proximité varie, mais pour l'instant, il suffit de supposer une distance convenable comme . $\ell_2^2$

Existe-t-il des assouplissements connus des contraintes linéaires qui sont "bons" dans le sens de fournir un polytope "assez proche" pour approximer les contraintes d'origine, où je suis également assez flexible sur la définition de "assez proche"

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
source

Les contraintes peuvent-elles dépendre de façon non linéaire de ?

p

$p$

— Warren Schudy

Pouvez-vous nous expliquer quel type de polytope vous recherchez? La coque convexe des points possibles avec au plus une coordonnée non nulle est , il n'y a donc aucun espoir d'une bonne approximation polyédrique de l'ensemble des points possibles .

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

— Warren Schudy

Si est une constante connue à l'avance, pour n'importe quelle constante de distance vous pouvez facilement calculer les points réalisables qui se trouvent dans de (en regardant une seule contrainte uniquement). Pour certaines mesures, les points réalisables seront une union de polytopes; pour d'autres, vous devrez peut-être les rapprocher de cette manière ou utiliser un oracle de séparation. Ensuite, écrivez des contraintes linéaires codant que est dans la coque convexe de celles-ci.

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

— Warren Schudy

@warren: les contraintes dépendent linéairement de p, mais p lui-même n'est pas une constante (c'est plutôt l'entrée du problème). Les contraintes sont du type ci-dessus, ou sont des contraintes linéaires sur le q_i.

— Suresh Venkat

Je ne sais pas si je comprends bien le problème, mais comme il est écrit, le problème semble admettre plusieurs simplifications, et en particulier le problème dans le cas ℓ ₂² est équivalent à la couverture de sommet de poids minimum si je ne me trompe pas.

Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que | S | = 2 dans chaque contrainte, car une contrainte avec | S |> 2 est équivalente à l'ensemble des contraintes où S passe sur toutes les paires d'éléments dans l'ensemble d' origine S . Par conséquent, les contraintes ℓ ₀ peuvent être visualisées comme un graphe G avec d sommets. Utilisation du graphe G , les contraintes peuvent être retraitées de la manière suivante: l'ensemble des sommets correspondant aux coordonnées i avec q _i = 0 doit être un couvercle de sommet de G .
Supposons que la distance soit définie par ℓ ₂² ou une norme. Dans ce cas, tout point q peut être transformé en un point q ′ satisfaisant pour tout i , q ′ _i ∈ {0, p _i }, simplement en définissant et cette transformation n'augmente jamais la distance du point p . En particulier, si la distance est la somme de la distance en coordonnées (comme dans le cas de la distance ℓ ₂² ), le problème est exactement le même que la couverture de sommet de poids minimum. $q_{i}^{'} = {\begin{cases} p_{i}, & q_{i} \neq 0, \\ 0, & q_{i} = 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$

Quant à la relaxation LP du problème de la couverture des sommets, une recherche rapide conduit par exemple aux notes de cours (leçon 9) d'Uriel Feige .

— Tsuyoshi Ito
source

Assez intéressant. J'aime l'observation de | S | n'ayant pas besoin d'être plus de 2

— Suresh Venkat

Il y a une chose qui ne fonctionne pas vraiment. Les variables en général peuvent être arbitraires (pas entre zéro et un). Vous ne pouvez donc pas vraiment encoder les contraintes LP pour les "variables mises à zéro doivent former une couverture de sommet". Cela devient un problème (que j'aurais dû mentionner) car il y a d'autres contraintes (linéaires) sur les coordonnées qui doivent également être incorporées.

— Suresh Venkat

@Suresh: Si vous pensez vraiment l'avoir mentionné, vous pouvez toujours modifier la question.

— Tsuyoshi Ito

@Suresh: Je voulais dire «Si vous pensez vraiment que vous auriez dû le mentionner…»

— Tsuyoshi Ito