Si P = BQP, cela signifie-t-il que PSPACE (= IP) = AM?

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Récemment, Watrous et al ont prouvé que QIP (3) = PSPACE un résultat remarquable. Ce fut pour moi un résultat surprenant pour le moins et cela m'a fait réfléchir ...

Je me demandais si les ordinateurs quantiques pouvaient être simulés efficacement par les ordinateurs classiques. Serait-ce simplement lié à la division entre IP et AM? Ce que je veux dire, c'est que IP est caractérisé par un nombre polynomial de cycles d'interaction classique, tandis que AM a 2 cycles d'interaction classique. La simulation d'un calcul quantique pourrait-elle réduire la quantité d'interaction pour IP du polynôme à une valeur constante?

— Zelah 02
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J'ai changé «PSPACE (IP)» dans le titre en «PSPACE (= IP)» parce que «A (B)» est une manière moins courante de désigner la classe «

».

A^{B}

$A^B$

— Tsuyoshi Ito

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Soit dit en passant, à strictement parler, je pense que votre intuition est basée sur la direction QIP (3) ⊇PSPACE, qui était connue en 1999: Watrous 2003 , arxiv.org/abs/cs.CC/9901015 . En fait, c'est le premier article sur les preuves interactives quantiques.

— Tsuyoshi Ito

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Grande question! Réponse courte: aucune implication comme n'est connue; mais cela ne veut pas dire que ça ne vaut pas la peine de prouver ...

P = B Q P \Rightarrow je P = UNE M

$\mathsf{P} = \mathsf{BQP} \Rightarrow \mathsf{IP} = \mathsf{AM}$

Je dirais cependant que trouver une telle implication semble peu probable. Je pense que le message de la théorie de la complexité quantique est que, bien que les ordinateurs quantiques ne soient pas une panacée polyvalente pour résoudre des problèmes difficiles, ils peuvent être beaucoup plus puissants que les ordinateurs classiques dans certaines circonstances spécifiques.

Par exemple, dans la complexité des requêtes, les algorithmes quantiques peuvent résoudre efficacement certains problèmes que les classiques ne peuvent pas prouver, lorsque l'entrée est promise à obéir à une belle structure globale. Par exemple, l'algorithme de Shor est basé sur un algorithme pour trouver rapidement la période inconnue d'une fonction promise à être périodique. D'un autre côté, les algorithmes de requête quantique ne sont pas trop puissants que les algorithmes classiques pour résoudre des problèmes dans lesquels aucune structure spéciale n'est supposée sur l'entrée. (Voir Buhrman et de Wolf's enquête sur la complexité des requêtes pour ce dernier point.)

$\mathsf{QIP}(3) = \mathsf{QIP} = \mathsf{IP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BQP}$

— Andy Drucker
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Je suis d'accord avec ce qu'Andy a écrit et je voulais que cette "réponse" soit un commentaire à sa réponse, mais c'est évidemment trop long pour un commentaire ...

Quoi qu'il en soit, il peut être utile de dire un peu plus sur quel aspect du calcul quantique (ou peut-être des informations quantiques) permet de prouver le confinement de PSPACE dans QIP (3). Les preuves connues de ce confinement ne découlent pas de la capacité du vérificateur à calculer des fonctions qui se trouvent être calculables en temps polynomial quantique. Une explication plus précise est que les preuves utilisent les moyens spécifiques qu'un prouveur peut manipuler les états quantiques intriqués qu'il partage avec le vérificateur. Si le prouveur n'était pas en mesure de manipuler des informations quantiques, ou s'il pouvait d'une manière ou d'une autre manipuler comme par magie des états intriqués partagés d'une manière plus forte que ne le permet la théorie de l'information quantique, les preuves ne fonctionneraient pas.

Donc, à mon avis, le confinement de PSPACE dans QIP (3) ne dit rien sur la relation entre AM et PSPACE.

— John Watrous
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Les réponses de John Watrous et Andy Drucker sont excellentes pour comprendre certains des problèmes impliqués.

$P = BQP$ $PH$ $PSPACE \supseteq PH \supset\neq AM$

$IP = PSPACE$

[1] L. Fortnow et J. Rogers. Limitations de complexité sur le calcul quantique . Journal of Computer and System Sciences, 59 (2): 240-252, 1999. Numéro spécial pour certains articles de la 13e conférence de l'IEEE sur la complexité informatique. Aussi disponible ici .

— Joshua Grochow
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Les autres réponses sont excellentes, et cela ne vise pas à remplacer ou à contredire aucune d'entre elles, simplement à offrir une certaine intuition pour expliquer pourquoi P = BQP n'implique pas nécessairement l'égalité entre les systèmes de preuve interactifs quantiques et classiques (pour les tours fixes, etc.). Cependant, nous savons maintenant que QIP = IP grâce au travail de Jain, Ji, Upadhyay et Watrous, donc je n'essaie certainement pas de prétendre que de telles égalités ne se produisent jamais.

Si nous supposons seulement que P = BQP, nous apprenons seulement quelque chose sur les problèmes de décision auxquels les modèles quantique et classique peuvent répondre. Cela ne revient pas à laisser entendre que les modèles sont en fait les mêmes. La principale différence est que les ordinateurs quantiques peuvent traiter des états en superposition, ce qui signifie que leur entrée et leur sortie n'ont pas besoin d'être limitées aux états classiques. C'est une différence très importante entre les modèles quantiques et classiques, car les entrées / sorties quantiques permettent d'interroger des oracles avec des superpositions d'états classiques ou de communiquer des états quantiques (qui peuvent potentiellement avoir des descriptions classiques exponentielles) entre un vérificateur et un prouveur. En effet, il existe des oracles qui séparent BQP de P, et la communication quantique conduit à une complexité de communication réduite pour un certain nombre de problèmes. Donc,

Pour cette raison, la question de savoir si P = BQP n'est pas le facteur décisif pour savoir si les modèles quantique et classique sont égaux dans des situations qui utilisent des requêtes de communication / oracle.

— Joe Fitzsimons
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