Permettez-moi de voir si je peux clarifier cela, à un niveau élevé. Supposons que l'instance UG soit un graphe biparti , bijections { π e } e ∈ E , où π e : Σ → Σ , et | Σ | = m . Vous voulez construire un nouveau graphe H de sorte que si l'instance UG est 1 - δ satisfaisable, alors H a une coupe importante, et si l'instance UG n'est même pas δ -satisfiable, alorsG=(V∪W,E){πe}e∈Eπe:Σ→Σ|Σ|=mH1−δHδ n'a que de très petites coupures.H
Le graphe contient, pour chaque sommet de W , un nuage de 2 m points, chacun étiqueté par quelques x ∈ { - 1 , 1 } Σ . L'intention est que vous devriez être en mesure d'interpréter un code long encodage des étiquettes de W comme une coupe de H . Rappelons que pour encoder des σ ∈ Σ avec le code long, vous utilisez une fonction booléenne f : { - 1 , 1 } Σ → { - 1 , 1 }HW2mx∈{−1,1}ΣWHσ∈Σf:{−1,1}Σ→{−1,1}; c'est en particulier la fonction dictateur . Produisons une coupe S ∪ T (c'est-à-dire bi-partition des sommets) à partir du codage de code long comme suit. Si w ∈ W a une étiquette codée par la fonction booléenne f , allez dans le nuage de sommets en H correspondant à w , et mettez en S tous les sommets du nuage étiquetés par quelques x pour lesquels f ( x ) = 1 . Tous les autres vont à Tf(x)=xσS∪Tw∈WfHwSxf(x)=1T. Vous pouvez le faire en arrière pour assigner des fonctions booléennes à tous basée sur une coupe de H .w∈WH
Pour que la réduction fonctionne, vous devez être en mesure de dire seulement en regardant la valeur d'une coupe S∪T si les fonctions booléennes correspondant à la coupe sont proches d'un codage de code long d'une attribution d'étiquettes à qui satisfait un grand nombre de contraintes UG de G . Donc , la question est ce que les informations que nous recevons de la valeur d'une coupe S ∪ T . Considérons deux sommets a avec l'étiquette x dans le nuage correspondant à w et b avec l'étiquette y dans le nuage correspondant à w ′WGS∪Taxwbyw′(dans la réduction, nous ne regardons que , w ′ dans différents nuages). Nous avons dit que la coupe peut être utilisée pour dériver des fonctions booléennes f w et f w ′ . Maintenant, s'il y a une arête ( a , b ) dans H , alors ( a , b ) est coupé si et seulement si f w ( x ) ≠ f w ′ ( y )ww′fwfw′(a,b)H(a,b)fw(x)≠fw′(y). Par conséquent, utiliser uniquement la valeur d'une coupure pour dire si les fonctions booléennes induites sont "bonnes" revient à avoir un test qui, étant donné les fonctions booléennes , ne demande que la fraction d'une liste spécifiée des paires ( ( w , x ) , ( w ′ , y ) ) nous avons f w ( x ) ≠ f w ′ ( y ) .{fw}w∈W((w,x),(w′,y))fw(x)≠fw′(y)
En d'autres termes, chaque fois que Ryan dit dans les notes "tester si ", ce qu'il veut vraiment dire "en H , ajouter un bord entre le sommet dans le nuage de w étiqueté par x et le sommet dans le nuage de w ' marqué par y ". C'est-à-dire pour tout v ∈ V , tous les deux de ses voisins w , w ′ et tous les x , y ∈ { - 1 , 1 }fw(x)≠fw′(y)Hwxw′yv∈Vw,w′ , inclure l'arête entre le sommet dans le nuage de w étiqueté par x ∘ π v , w et le sommet dans le nuage de w ′ étiqueté par y ∘ π v , w ′ , et affecter le poids de l'arête ( ( 1 - ρ ) / 2 ) d ( ( 1 + ρ ) / 2 ) n - d où d est la distance de Hamming entre xx,y∈{−1,1}nwx∘πv,ww′y∘πv,w′((1−ρ)/2)d((1+ρ)/2)n−ddxet . De cette façon, la valeur d'une coupe divisée par le poids total du bord est exactement égale à la probabilité de réussite du test.y