Référence pour les graphiques libres (trous impairs, anti-trous)?

Les graphiques sans X sont ceux qui ne contiennent aucun graphique de X comme sous-graphique induit. Un trou est un cycle avec au moins 4 sommets. Un trou impair est un trou avec un nombre impair de sommets. Un antihole est le complément d'un trou.

Les graphiques libres (trous impairs, anti-trous impairs) sont précisément les graphiques parfaits; c'est le théorème du graphe parfait parfait . Il est possible de trouver le plus grand ensemble indépendant (et la plus grande clique) dans un graphe parfait en temps polynomial, mais la seule méthode connue de le faire nécessite la construction d'un programme semi-défini pour calculer le nombre de Leta Thov de Lovász .

Les graphes sans (trou, antihole) sont appelés faiblement cordés et constituent une classe assez facile pour de nombreux problèmes (y compris INDEPENDENT SET et CLIQUE ).

Est-ce que quelqu'un sait si des graphiques gratuits (trous impairs, anti-trous) ont été étudiés ou écrits?

Ces graphiques se produisent tout naturellement dans les problèmes de satisfaction de contraintes où le graphique des variables liées forme un arbre. Ces problèmes sont assez faciles, il serait donc intéressant de trouver une plus grande clique d' ~~ensemble indépendante~~ pour les graphiques de cette famille sans avoir à calculer la thêta de Lovász.

De manière équivalente, on veut trouver un ensemble indépendant le plus grand pour les graphiques sans (trou, anti-trou impair). Hsien-Chih Chang souligne ci-dessous pourquoi il s'agit d'une classe plus intéressante pour le JEU INDÉPENDANT que les graphiques libres (trous impairs, anti-trous).

— András Salamon
source

En fait, c'est relativement facile. Au lieu d'étudier le problème des ensembles indépendants dans des graphiques libres (trous impairs, anti-trous), nous prenons le complément des graphiques et essayons d'y trouver une clique maximale. Ainsi, il devient un problème de clique maximum dans les graphiques sans (trou, anti-trou impair).

Dans la section 2 du document " Quartiers triangulés dans les graphiques sans trous pairs " de da Silva et Vuskovic, ils ont déclaré que Farber montre d'abord

Il existe cliques maximales dans tous les graphiques libres à 4 trous. $O(n^2)$

Ensuite, leur théorème principal a déclaré que

Il y a cliques maximales dans les graphiques sans trous pairs, et toutes les cliques maximales peuvent être trouvées dans le temps . $O(n + m)$ $O(n^2m)$

Comme nous avons affaire à des graphiques libres (trou, anti-trou impair) qui sont clairement sans trou pair, trouver une clique maximale prend au maximum temps. $O(n^2m)$

Les trous sans trous sont essentiels à ce type de résultats, comme un algorithme poly-temps pour les graphiques sans , de sorte que le véritable défi consiste à étudier le problème d'ensemble indépendant dans (trou, anti-trou impair) sans graphiques à la place, ce qui devient le problème de clique maximum dans les graphiques libres (trous impairs, anti-trous). $\overline{K_{2,m}}$

Éditer:

Oh, une autre pensée est sortie. (trou, anti-trou impair) - les graphiques libres sont presque faiblement accordés dans le sens suivant: puisque 4 trous sans implique qu'il ne reste que des anti-trous de taille 4 ~ 7 (tout k-anti-trou de taille> 7 contient un 4 trous), et il est également sans trous impairs, ce qui limite la taille des anti-trous à 4 et 6, il n'y a presque pas de trous / anti-trous dans le graphique! Ainsi, un algorithme poly-temps semble plausible pour de tels graphiques.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
source

K_{2, m}

$K_{2,m}$

m \geq 2

$m\geq 2$

Merci! En examinant à nouveau mon résultat avec Peter Jeavons, nous avons en fait montré que les problèmes de contraintes arborescentes donnent des graphiques libres (trou, impair-antihole) dans lesquels on veut trouver le plus grand ensemble indépendant. Je vais rendre la question plus précise - j'ai suggéré à tort qu'IS était le problème que l'on voulait résoudre.

— András Salamon

@ AndrásSalamon pouvez-vous donner un accès libre aux prépublications de votre travail sur ce sujet? Je n'ai pas pu accéder non plus via le proxy de mon université

— Diego de Estrada

@DiegodeEstrada: Je serais heureux de vous envoyer une pré-impression de notre papier CP 2008, envoyez-moi simplement un e-mail. Cependant, c'est vraiment un papier de contraintes donc peut ne pas être intéressant pour vous.

— András Salamon