Mélange de jetons sur un graphique à l'aide de swaps locaux

Soit un graphe connecté non régulier dont le degré est borné. Supposons que chaque nœud contienne un jeton unique. $G= (V, E)$

Je veux mélanger uniformément les jetons parmi le graphique en utilisant uniquement des swaps locaux (c'est-à-dire l'échange des jetons entre deux nœuds adjacents)? Existe-t-il une borne inférieure connue pour ce problème?

La seule idée que j'ai eue est d'utiliser un résultat de marche aléatoire, puis de voir de combien d'échanges j'ai besoin pour "simuler" l'effet des promenades aléatoires transportant des jetons sur le graphique.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Sylvain Peyronnet
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Quel type de borne inférieure recherchez-vous? Nombre total de swaps? Nombre de tours parallèles (c.-à-d., En 1 étape, vous pouvez permuter le long de tous les bords d'une correspondance en )? Limite inférieure en fonction de, ? Tous les nœuds connaissent-ils la topologie de (et peuvent adapter leur comportement en conséquence), ou cherchez-vous une stratégie fixe que vous pouvez appliquer dans n'importe quel graphique?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela

J'aurais dû être plus précis, désolé. L'objectif est de concevoir une méthode de diffusion des données pour les réseaux de capteurs qui évite les problèmes de méthodes basées sur des marches aléatoires (essentiellement la perte d'informations due à la collision de plusieurs jetons sur le même nœud). Je suis donc intéressé par le nombre total de swaps (cela donnera le nombre de messages circulant dans le réseau) et le nombre de rounds (pour avoir une estimation grossière du temps de convergence). un LB en fonction de est très bien et les nœuds ne sont pas topologiquement (malheureusement).

V

$V$

— Sylvain Peyronnet

Réponses:

Supposons que votre graphique soit un chemin. Je pense que ce problème devient alors équivalent à trier une séquence aléatoire de nombres dans un tableau en échangeant des entrées adjacentes. Même si tous les nœuds connaissent la topologie, vous obtenez une limite inférieure de ^ 2 sur le nombre de swaps (ne peut pas faire mieux que le tri à bulles qui est n ^ 2 même sur une entrée aléatoire).

— Lev Reyzin
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Dans le cas d'un chemin, le processus d'échange avec des mélanges de probabilité 1/2 dans , cela a été prouvé par Benjamini, Berger et Hoffman (cela a été conjecturé par Diaconis et Ram). Donc mon LB est aussi fonction du degré je suppose ...

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Sylvain Peyronnet

Ce LB dit que vous ne pouvez pas améliorer l'algorithme même si vous pouvez choisir vos swaps .... mais bon, je suppose que le problème pourrait devenir plus facile avec l'augmentation du degré (moyen?).

— Lev Reyzin

Je planifierai quelques simulations pour voir comment ça se passe lorsque le diplôme augmente.

— Sylvain Peyronnet

En fait, il semble que ce LB (avec quelques modifications) tiendra même si les deux extrémités du chemin ont de grandes cliques - comme dans 2 cliques sur n / 4 reliées par un chemin de n / 2 nœuds. Maintenant, le degré moyen est O (n), mais vous ne pouvez toujours pas battre n ^ 2. Peut-être faut-il imposer un diplôme minimum?

— Lev Reyzin

Oui, nous avons besoin d'un diplôme minimum :(

— Sylvain Peyronnet

Je voudrais souligner la relation entre ce problème et les réseaux de tri. Par exemple, si votre graphique est un chemin, le réseau de tri de profondeur linéaire trivial montre également que vous pouvez obtenir n'importe quelle permutation en nombre linéaire de tours. De plus, c'est serré, car le simple échange des éléments aux extrémités du chemin nécessite un nombre linéaire de tours.

Les réseaux de tri AKS montrent qu'il existe des graphiques dans lesquels vous pouvez obtenir n'importe quelle permutation en nombre logarithmique de tours. Pour le cas des graphiques en grille, voir par exemple ces notes de cours .

(Bien sûr, le tri et le mélange sont des problèmes différents, mais de nombreuses limites supérieures et inférieures sont liées. Par exemple, choisissez des étiquettes aléatoires et triez par étiquettes.)

— Jukka Suomela
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Merci pour le pointeur. Je vais creuser dans ce sens, ce n'est peut-être pas ce dont j'ai besoin ici (je ne sais pas si j'ai le bon type de graphique) mais ce sera certainement quelque chose que j'utiliserai tôt ou tard!

— Sylvain Peyronnet