Algorithmes quantiques basés sur des transformations autres que les transformées de Fourier

Dans le calcul quantique et l'information quantique de Nielsen et Chuang, ils disent que de nombreux algorithmes basés sur les transformées de Fourier quantiques reposent sur la propriété d'invariance de Coset des transformées de Fourier et suggèrent que les propriétés d'invariance d'autres transformées pourraient produire de nouveaux algorithmes.

Y a-t-il eu des recherches fructueuses sur d'autres transformations?

quantum-computing quantum-information

— Sam Burville
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Oui. Yi-Kai Liu, Shelby Kimmel et d'autres ont développé des algorithmes quantiques basés sur des transformées en ondelettes, et Stephen Jordan a développé des algorithmes quantiques basés sur la transformée de Clebsch-Gordan. Vous pouvez rechercher des références sur Google, ou d'autres pourraient en fournir. Bien sûr, les problèmes résolus par ces algorithmes ne sont pas aussi visibles que l'affacturage et le journal discret (sinon vous en auriez déjà entendu parler).

— Scott Aaronson

@ScottAaronson comment -> answer

— Alessandro Cosentino

@ScottAaronson Super, je vais les examiner. Merci!

— Sam Burville

Des oracles hamiltoniens?

— vzn

Yi-Kai Liu a développé des algorithmes quantiques utilisant la transformée curvelet (voir la version complète sur arXiv ou la version courte de FOCS).

— Māris Ozols

Réponses:

Je voudrais ajouter quelques références supplémentaires au commentaire de Scott:

En effet, les transformées de Clebsch-Gordan (que vous pouvez considérer comme des transformées de Fourier quantiques à registres multiples) sont un outil utile dans la conception d'algorithmes quantiques pour les problèmes de sous-groupes cachés non abéliens (HSP).

Greg Kuperberg et Oded Regev ont utilisé des transformées de Clebsch-Gordan pour résoudre le DSP dièdre en temps sous-exponentiel (mais superpolynomial). Ces algorithmes quantiques ne sont pas efficaces, mais ils ont une meilleure complexité de requête que les algorithmes classiques.
$\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

J'écris également pour ajouter qu'il ne faut pas oublier que les transformées de Fourier quantiques et les transformées de Clebsch-Gordan ne sont pas toujours indispensables, même si elles peuvent être très utiles.

Dans l'algorithme de Shor (ou même dans l'estimation de phase quantique), les transformées de Fourier peuvent être remplacées par des tests de Hadamard , donc en utilisant uniquement des portes de Hadamard au lieu des transformées de Fourier: cette astuce est due à Kitaev et vous pouvez en lire plus ici .
Il existe encore un autre algorithme efficace pour le HSP sur , par Bacon, Childs, Van Dam, qui n'utilise pas les transformées de Clebsch-Gordan. Au lieu de cela, l'algorithme utilise un certain type de POVM puissant connu sous le nom de Pretty Good Measurement. $\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

Bien sûr, cette liste est probablement incomplète. J'espère que quelqu'un signalera d'autres résultats qui n'ont pas encore été mentionnés.

— Juan Bermejo Vega
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HSP = problème de sous-groupe caché

— vzn

Merci d'avoir fait remarquer cela. J'ai expliqué l'acronyme dans la dernière édition.

— Juan Bermejo Vega

Je ne sais pas si cela est directement lié à votre question, mais sa lecture m'a fait penser à un article de Peter Høyer que j'ai lu il y a quelques années. Dans ce document, il montre comment les algorithmes quantiques les plus populaires comme Grover ou Shor suivent le même modèle d'application de ce qu'il appelle des "opérateurs conjugués" et il construit de nouveaux algorithmes également basés sur ce même modèle.

Comme je l'ai dit, cela fait quelques années que je ne l'ai pas lu, donc ma description est un peu bâclée, mais voici le lien au cas où vous voudriez le vérifier.

http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.59.3280

— Philippe Lamontagne
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