Le problème de l'ensemble dominant est-il limité aux graphes bipartites planaires de degré 3 NP-complet maximum?

Quelqu'un connaît-il un résultat de complétude NP pour le problème DOMINATING SET dans les graphiques, limité à la classe des graphiques bipartites planaires de degré 3 maximum?

Je sais qu'il est NP-complet pour la classe des graphes planaires de degré maximum 3 (voir le livre Garey et Johnson), ainsi que pour les graphes bipartites de degré maximum 3 (voir M. Chlebík et J. Chlebíková, "Dureté d'approximation de dominant les problèmes d'ensemble dans les graphiques de degrés bornés "), mais n'a pas pu trouver la combinaison des deux dans la littérature.

Et si vous faites simplement ce qui suit: Étant donné un graphique , construisez un autre graphique en subdivisant chaque bord de en 4 parties; ici est l'ensemble des nouveaux nœuds que nous avons introduits, et.G ′ = ( V ∪ U , E ′ ) G U | U | = 3 | E $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

Le graphe est bipartite. De plus, si est plan et a max. degré 3, alors est également plan et a max. degré 3. G G $G'$$G$$G'$

Soit un ensemble dominant (minimum) pour . Considérons une arête qui a été subdivisée pour former un chemin dans . Maintenant, au moins l'un des est en . De plus, si nous avons plus d'un de dans , nous pouvons modifier pour qu'il reste un ensemble dominant valide et que sa taille n'augmente pas. Par exemple, si nous avons et , nous pouvons tout aussi bien supprimer de et ajouter àG ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c D ′ a , b , c D ′ D ′ a ∈ D $D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$$D'$$a \in D'$ c D ′ Y D ′ | D ′ ∩ U | $c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$. D'où wlog nous avons.$|D' \cap U| = |E|$

Considérons alors . Supposons que et . Il faut alors avoir un nœud tel que . Il y a donc une arête telle que nous ayons un chemin dans . Puisque et , nous avons , et pour dominer nous devons avoir . Par conséquent , dans noeud est voisin de avec . Autrement dit,x ∈ V x ∉ D ′ a ∈ D ′ ( x , a ) ∈ E ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c ∈ U a ∈ D ′ b , c ∉ $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c \in U$$a \in D'$ C y ∈ D ′ G y x y ∈ D D $b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$est un ensemble dominant pour .$G$

A l' inverse, envisager un (minimum) ensemble dominant pour . Construire un ensemble dominant pour pour quecomme suit: Pour une arête qui a été subdivisée pour former un chemin dans , nous ajoutons à si et ; on ajoute à si et ; et sinon on ajoute à . On peut maintenant vérifier queG D ′ G ′ | D ′ | = | D | + | E | ( x , y ) ∈ E $D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$G ′ a D ′ x ∉ D y ∈ D c D ′ x ∈ D y ∉ D b D ′ D $(x,a,b,c,y)$$G'$$a$$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$est un ensemble dominant pour : Par construction, tous les nœuds de sont dominés. Soit maintenant . Il y a alors un tel que , et donc le long du chemin nous avons , qui domine . U x ∈ V ∖ D ′ y ∈ V ( x , y $G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

En résumé, si a un ensemble dominant de taille , alors a un ensemble dominant de taille au plus, et si a un ensemble dominant de taille, alors a un ensemble de taille dominant au plus .$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

Edit: Ajout d'une illustration. En haut: le graphique d'origine ; au milieu: graphe avec un ensemble dominant "normalisé"; en bas: graphe avec un ensemble dominant arbitraire.$G$$G'$$G'$