Problèmes polynomiaux dans les classes de graphes définis par des sous-graphes cycliques induits interdits

11

Crossposted de MO .

Soit une classe de graphes définie par un nombre fini de sous-graphes induits interdits, tous cycliques (contenant au moins un cycle). $C$

Existe-t-il des problèmes de graphes NP-difficiles qui peuvent être résolus en temps polynomial pour autre que Clique et Clique cover? $C$

Si je me souviens bien, cela est impossible pour un ensemble indépendant (sauf si ). $P=NP$

La recherche dans graphclasses.org n'en a pas trouvé.

Une classe pour laquelle Clique et Clique cover sont polynomiales est C5, C6, X164, X165, sunlet4, sans triangle

Éditer

Négatif pour IS et Domination est dans cet article . Page 2, les graphes . $S_{i,j,k}$

— joro
source

3

Dans Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Graph Isomorphism for Graph Classes Caractérized by two Forbidden Induced Subgraphs : GI is polynomial time (trivial) solvable for

graphs, but also (less trivial) for

graphiques

.

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— Marzio De Biasi

2

Il est peut-être préférable de noter également sur la question sur MO la publication croisée, si quelqu'un là-bas est intéressé, il aimerait voir les réponses / commentaires ici.

— RB

1

@MarzioDeBiasi, pourquoi ne pas tourner votre commentaire pour répondre?

— Saeed

14

Je pense qu'il y a un certain nombre de problèmes difficiles qui deviennent faciles pour les graphiques sans triangle; en particulier ceux qui traitent directement des triangles tels que la partition en triangles (G a-t-il une partition en triangles?). D'autres exemples moins triviaux comprennent:

Problème de coupe stable (G a-t-il un ensemble indépendant S tel que GS est déconnecté?). Voir: Sur les sutsets stables dans les graphiques, Discrete Applied Math. 105 (2000) 39-50.
Base du graphe d'intersection (G est-il le graphe d'intersection de sous-ensembles d'un ensemble de sol à k éléments?). Voir: Problème [GT59] dans: Garey & Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness.

— Mon Tag
source

11

Voici quelques exemples supplémentaires de la réponse de Mon Tag:

$G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
Reconnaître que les graphiques à lignes triangulaires sont NP-complets (voir ici ), Il est également facile de voir que ce problème devient polynomial pour les graphiques d'entrée sans triangle.
$(C_3, C_4, C_5)$

— vb le
source

Je vous remercie. Certains problèmes restent donc difficiles et d'autres non.

— joro

10

$(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

$K_{1,t}$

Après y avoir réfléchi un peu, il semble facile de prouver ce qui suit (original?):

$\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ $G_1,G_2$

entrez la description de l'image ici
$G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

Nous pouvons également étendre le résultat négatif au problème de NPC du cycle hamiltonien, en effet c'est un corollaire immédiat au suivant (original?):

$k \geq 3$ $G$ $\leq k$

$G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ $\geq k$ $G''$ $G$

entrez la description de l'image ici

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— Marzio De Biasi
source

K_{1, t}

$K_{1,t}$

Vous avez raison! Je suis arrivé avec un résultat négatif ... voyez si cela peut fonctionner, ou si c'est complètement faux: -S: -S

— Marzio De Biasi

Merci. Vous avez donc obtenu un résultat négatif présumé pour le GI et le cycle hamiltonien?

— joro

J'espère que c'est correct, cela résoudra beaucoup de problèmes inconnus de graphclasses.org.

— joro

1

(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

1

MAX-CUT reste NP-complet.

Le lemme 3.2 simple max-cut est NP-complet dans les deux classes de graphiques suivantes:

$k$ $k \ge 3$

Ils subdivisent deux fois un bord.

Extrait de "MAX-CUT et relations de confinement dans les graphiques, Marcin Kaminski"

— joro
source

1

Mais vous avez demandé des problèmes résolus en temps polynomial, non?

— Peng O

@PengO en effet, mais c'est un résultat négatif, il est donc impossible d'être polynomial. Une autre réponse montre également des résultats négatifs.

— joro