Version multiplicative de 3-SUM

Que sait-on de la complexité temporelle du problème suivant, que nous appelons 3-MUL?

Étant donné un ensemble de entiers, y a-t-il des éléments tels que ?$S$$n$$a,b,c\in S$$ab=c$

Ce problème est similaire au problème 3-SUM, qui demande s'il y a trois éléments tels que (ou de manière équivalente ). 3-SUM est supposé nécessiter un temps à peu près quadratique en . Existe-t-il une conjecture similaire pour le 3-MUL? Plus précisément, le 3-MUL est-il connu pour être 3-SUM difficile?$a,b,c\in S$$a+b+c=0$$a+b=c$$n$

Notez que la complexité temporelle doit s'appliquer dans un modèle de calcul "raisonnable". Par exemple, nous pourrions réduire de 3-SUM sur un ensemble à 3-MUL sur l'ensemble , où . Alors une solution à 3-MUL, , existe si et seulement si . Cependant, cette explosion exponentielle des nombres évolue très mal avec différents modèles, comme le modèle RAM par exemple.$S$$S'$$S'=\{2^x\mid x\in S\}$$2^a\cdot 2^b=2^c$$a+b=c$

Votre réduction de SUM à 3 MUL fonctionne avec une modification standard mineure. Supposons que vos entiers d'origine étaient dans { 1 , … , M }. Après la transformation x → 2 x les nouveaux entiers sont dans { 2 , … , 2 M }. Nous allons réduire la portée.$3$$3$$1,\ldots,M$$x\rightarrow 2^x$$2,\ldots,2^M$

Considérons tout triple d'entiers dans le nouvel ensemble S ′ . Le nombre de diviseurs premiers de toute valeur non nulle a b - c est < 2 M . Le nombre de ces triplets est n 3 . Ainsi , le nombre des nombres premiers q qui divisent au moins l' un des a b - c nombres non nuls est au plus de 2 M n 3 .$a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

Soit l'ensemble des 2 premiers M ⋅ n 4 nombres premiers. Le plus grand nombre premier est de taille au plus O ( M n 4 log M n ) . Choisissez un nombre premier p ∈ P aléatoire . Avec une probabilité élevée, p ne divisera aucun des éléments non nuls a b - c , nous pouvons donc représenter chacun a ∈ S ′ par son résidu, mod p , et si 3 MUL en trouve a b = c dans $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$ , Avec une probabilité élevée, il sera correct pour l'instance 3 SUM d'origine. Nous avons réduit la plage des nombres à { 0 , … , O ( M n 4 log M n ) }.$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(Il s'agit d'une réduction de taille standard. Vous pourriez être en mesure de faire mieux en considérant le fait que les sont toujours des différences de deux puissances de 2. )$ab-c$$2$

Avez-vous essayé la réduction où M = max S - min S ? Les résultats sont des nombres réels, vous devez donc arrondir à un certain nombre de chiffres. Pour vous assurer que les chiffres s'ajoutent correctement malgré l'arrondissement, vous devrez peut-être ajouter un peu de bruit aléatoire.$S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$