Pourquoi les graphiques Ramanujan sont nommés d'après Ramanujan?


Réponses:


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Pour ajouter du contenu aux réponses ici, je vais expliquer brièvement quelle est la conjecture de Ramanujan.

Tout d'abord, la conjecture de Ramanujan est en fait un théorème, prouvé par Eichler et Igusa. Voici une façon de le dire. Soit rm(n) le nombre de solutions intégrales de l'équation quadratique x12+m2x22+m2x32+m2x42=n . Si m=1 , que rm(n)>0m r m ( n ) = c m Σ d | n d + O ( n 1 / deux + ε ) ε > 0 c m mr1(n)=8dn,4ddmrm(n)=cmdnd+O(n1/2+ϵ)ϵ>0cmm

Lubtozky, Phillips et Sarnak ont ​​construit leurs expanseurs en fonction de ce résultat. Je ne connais pas les détails de leur analyse , mais l'idée de base, je crois, est de construire un graphe de Cayley de pour un premier que , en utilisant des générateurs déterminés par chaque somme de décomposition en quatre carrés de p , où p est un résidu quadratique modulo q . Ensuite, ils relient les valeurs propres de ce graphe de Cayley à r_ {2q} (p ^ k) pour les puissances entières k . PSL(2,Zq)q1mod4ppqr2q(pk)k

Une brève référence, autre que le document Lubotzky-Phillips-Sarnak lui-même, est la brève description de Noga Alon dans Tools from Higher Algebra .


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agréable ! très bonne réponse.
Suresh Venkat

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Wikipedia fournit cette réponse assez rapidement. Citant

Les constructions de graphes Ramanujan sont souvent algébriques. Lubotzky, Phillips et Sarnak montrent comment construire une famille infinie de graphes Ramanujan -réguliers, chaque fois que est un nombre premier. Leur preuve utilise la conjecture Ramanujan , qui a conduit au nom des graphiques Ramanujan.p+1p=1mod4

Le document auquel il est fait référence est les graphiques de Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips et P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Numéro 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.


la question est: quelle est la conjecture de ramanujan
Suresh Venkat

Il est parfois préférable de conserver les liens lorsque vous citez.
Tsuyoshi Ito

Effectivement. J'ai sous-estimé la gravité de la question.
Dave Clarke
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