Fonction monotone aléatoire

Dans le document Natural Proofs de Razborov-Rudich , page 6, dans la partie, ils expliquent qu'il existe de "solides preuves de limites inférieures contre les modèles de circuits monotones " et comment elles s'intègrent dans l'image, il y a les phrases suivantes:

Ici, le problème n'est pas la constructivité - les propriétés utilisées dans ces preuves sont toutes réalisables - mais il ne semble pas y avoir de bon analogue formel de la condition de grandeur. En particulier, personne n'a formulé une définition pratique d'une «fonction monotone aléatoire».

N'est-il pas facile de distinguer les sorties d'une fonction monotone d'une chaîne aléatoire? L'existence de limites inférieures fortes ne nous dit-elle pas qu'il n'y a pas de telles choses?

Ma question est:

Que signifient-ils par une définition pratique d'une "fonction monotone aléatoire" ?

Je ne suis pas sûr, mais je pense que le problème ici est le fait que nous n'avons pas d'hypothèses solides sur les générateurs de fonctions monotones pseudo-aléatoires (du moins pas que je sache). L'idée de la preuve dans l'article de Razborov-Rudich est la suivante:

s'il existe une propriété naturelle des fonctions (c'est-à-dire une propriété efficacement décidable qui détient un sous-ensemble de fonctions suffisamment grand et implique que la fonction a besoin de gros circuits), alors elle peut être utilisée pour casser des générateurs de fonctions pseudo-aléatoires (qui cassent également des générateurs pseudo-aléatoires et un - fonctions de voie).

Si nous devions reformuler le théorème en termes de fonctions monotones et de circuits monotones, nous aimerions qu'il dise

s'il existe une propriété naturelle des fonctions monotones (c'est-à-dire une propriété efficacement décidable qui détient un sous-ensemble suffisamment grand de fonctions monotones et implique que la fonction a besoin de grands circuits monotones ), alors elle peut être utilisée pour casser les générateurs de fonctions pseudo-aléatoires (qui cassent aussi les pseudo-aléatoires générateurs et fonctions unidirectionnelles),

mais maintenant la preuve du papier s'arrête de fonctionner, parce que notre générateur pseudo-aléatoire produit des fonctions générales, pas nécessairement monotones, et nous ne pouvons pas utiliser notre propriété naturelle pour la casser, car même un sous-ensemble relativement important de fonctions monotones ne sera pas grand par rapport à fonctions générales, car l'ensemble des fonctions monotones lui-même n'est pas important par rapport à l'ensemble de toutes les fonctions ( http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_number ). Nous pourrions définir un générateur de fonction monotone pseudo-aléatoire et utiliser la propriété naturelle pour le casser, mais nous n'aurions probablement pas l'équivalence entre ce générateur et les fonctions unidirectionnelles, donc le théorème ne serait pas si intéressant.

Peut-être que cette difficulté peut être corrigée (mais je ne pense pas qu'elle découle de la preuve dans le document d'une manière simple) et peut-être que le problème avec les fonctions monotones se situe ailleurs. J'aimerais vraiment que quelqu'un de plus expérimenté que moi confirme ma réponse ou montre où je me trompe.