Reste-t-il des problèmes en suspens à propos des DFA?

Après avoir étudié les automates à états finis (DFA) déterministes chez les étudiants de premier cycle, j’ai eu le sentiment qu’ils étaient extrêmement bien compris. Ma question est de savoir s'il y a quelque chose que nous ne comprenons toujours pas à leur sujet. Je ne parle pas de généralisations d'AFD, mais des AMD d'origine non modifiées que nous étudions au premier cycle.

C'est une question vague, mais j'espère que vous avez compris l'idée. Je veux comprendre s’il est juste de dire que nous comprenons parfaitement les DFA. Je parle donc vraiment de questions inhérentes aux DFA, et non de problèmes créés artificiellement pour ressembler à un problème de DFA. Permettez-moi de donner un exemple d'un tel problème. Soit L la langue vide si P = NP et une langue fixe non régulière si P n'est pas NP. L peut-il être accepté par un DFA? Cette question concerne les DFA, mais pas leur esprit. J'espère que mon propos est clair et que les gens ne me répondent pas de manière pédante.

En bref est-il juste de dire

Nous comprenons essentiellement complètement les DFA.

Je suis désolé s'il s'avérait qu'il s'agissait d'un vaste domaine de recherche dont je n'étais pas au courant et que je viens d'insulter toute une communauté de personnes.

Voici un problème décrit dans le livre "Un deuxième cours sur les langages formels et la théorie des automates" de Shallit.

Soit et v deux mots distincts avec | u | = | v | = n . Quelle est la taille du plus petit DFA qui accepte u mais rejette v , ou vice versa?$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Robson, dans son article intitulé " La séparation des chaînes avec petits automates " en 1989 a prouvé une limite supérieure . La limite inférieure la plus connue en Ω ( log n ) .$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Pour une enquête voir ceci .

Voici un problème de décision très simple à propos de DFA. Étant donné un DFA M, M accepte-t-il la représentation en base 2 d'au moins un nombre premier?

Actuellement, nous ne savons même pas si ce problème peut être résolu de manière récursive.

Si elle peut être résolue de manière récursive et si nous avions un algorithme, nous pourrions résoudre le problème ouvert de longue date, à savoir s'il existe des nombres premiers de Fermat (nombres premiers de la forme ) plus grands que le plus grand connu, 65537. (Parce que tout nombre premier avec une représentation en base 2 de la forme 1 0 + 1 doit être un nombre premier de Fermat.)$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

La conjecture de Černý est toujours ouverte et importante. Il est sur le point DFA qui ont un mot de synchronisation (un mot avec la propriété que deux exemplaires de l'automate a commencé dans les différents états finissent toujours dans le même état que l'autre traitement après la fois le mot), et demande si (pour -state automates) la longueur du mot le plus court est toujours au plus ( n - 1 ) 2 . Les meilleures limites prouvées sont de la forme O ( n 3 ) .$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

Je tiens à souligner un autre problème de recherche, qui concerne l’interaction de concepts très fondamentaux relatifs aux DFA.

Il est bien connu que tout NFA à n états peut être converti en un DFA équivalent ayant au plus états. C’est ce qui est le mieux possible dans le pire des cas, dans la mesure où il existe des langages normaux de complexité d’états non déterministe n (c’est-à-dire le nombre d’états dans un NFA minimal), mais de complexité d’état déterministe 2 n . Il existe également des exemples de familles de langues, dans lesquelles le non-déterminisme peut sauver un facteur quadratique, et des cas où le non-déterminisme ne permet pas de sauver des États du tout. Ainsi, une question naturelle est la suivante:$2^n$$2^n$

Problème de nombre magique

Existe-t-il, pour chaque compris entre n et 2 n , un langage régulier L n tel que l'écart entre la complexité d'états non déterministe et la complexité d'états déterministe est exactement α ?$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

Si nous comprenons parfaitement la construction de l’ensemble des pouvoirs et la relation Myhill-Nerode d’un point de vue mathématique, je suppose que nous pourrons alors construire de tels langages pour chaque , ou bien spécifier les valeurs de α pour lesquelles cela est impossible (si de telles valeurs existent, elles sont appelées "nombres magiques").$\alpha$$\alpha$

On sait qu'il existe des nombres magiques pour la taille d'alphabet et, depuis 2009, qu'il n'y en a plus si la taille de l'alphabet est au moins de 3 . Mais si je ne me trompe pas, le cas des alphabets binaires est toujours ouvert.$1$$3$

Galina Jirásková. Nombres magiques et alphabet ternaire. Dans: 13e Conférence internationale sur les développements de la théorie des langues (DLT 2009), volume 5583 de Notes de lecture en informatique, pages 300 à 311.

Titre: Non-vide d'intersection pour deux DFA

Description: Étant donné deux DFA de et D 2 , est -ce qu'il existe une chaîne x telle que D 1 et D 2 acceptent tous deux x ?$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

Ouvert Problème: Peut - on résoudre non vide d'intersection pour deux de DFA dans temps?$o(n^2)$

Si nous pouvions résoudre ce problème en temps où δ <2, l'hypothèse temporelle exponentielle forte serait alors réfutée.$O(n^{\delta})$$\delta$

Explication: Décider de la vacuité d'intersection de langages normaux en un temps sous-quadratique

Cela pourrait vous être utile: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

Passez une bonne journée! :)

Voici un problème ouvert entre DFA et la théorie de l'apprentissage automatique: les DFA peuvent-ils être appréhendés uniformément de manière aléatoire (transitions aléatoires et comportement d'acceptation / de rejet) dans le modèle PAC?

Remarque: nous pensons que les DFA arbitraires ne peuvent pas être appris en raison des résultats de la dureté cryptographique . Pour les DFA aléatoires, nous n’avons que les limites inférieures de la QS , qui ne sont pas aussi fortes.

Les automates à couverture minimale font partie des éléments associés. Étant donné un langage fini , on peut obtenir un minimum DFA pour L . Mais si nous assouplissons les exigences de DFA, nous pouvons en trouver de plus petites. Nous savons que le mot le plus long dans un langage fini L a une longueur l . Définissez DFCA comme un DFA qui accepte uniquement les mots en L ou éventuellement des mots plus longs que l . Cela peut DFCA a une taille plus petite que DFA pour L . En pratique, vérifier la longueur d'un mot n'a pas d'importance. Si nous avons un DFCA plus petit qui accepte les originaux, nous pouvons simplement rejeter les mots dont la longueur est supérieure à l . Il existe des recherches sur cette classe (introduites en 2001), et il existe par exemple un$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$ algorithmepour trouver un minimum de DFCA. Un algorithme de temps d'exécution optimal n'est pas encore connu. Nous pouvons également considérer d'autres aspects de DFA concernant DFCA.$O(n^2)$

Combien de langues standard existe-t-il dont le DFA minimal a exactement états?$n$

Il me semble qu'une formule fermée devrait exister, mais aucune n'est connue. Certaines limites asymptotiques sont connues:

Sur le nombre de langues distinctes acceptées par les automates finis à états$n$ . M Domaratzki, D Kisman, J Shallit.

Voici une question concernant DFA que je viens de lire avant, et elle est toujours ouverte à ma connaissance:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Cette question a des implications pour l'apprentissage automatique .

("penser en dehors de la boîte" ...) il s'agit d'un problème quelque peu artificiel impliquant des DFA (je ne l'ai pas vu étudier ailleurs), mais il révèle un thème dans TCS selon lequel même de nombreux objets de calcul apparemment "simples" (comme les DFA) peuvent avoir des propriétés complexes , également un aspect / thème incorporé dans le théorème de Rices. (à certains égards, la "complexité" ultime est "indécidabilité", autrement dit la complétude de Turing.)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$, est également un RL (et un DFA).

$\Sigma$

le problème "existe-t-il un $n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

maintenant, pour relier cela davantage à la question, bien que cela ne soit pas largement noté (considéré comme trivial par certains), de nombreux problèmes en suspens en TCS / mathématiques sont étroitement liés à l’indécidabilité dans la mesure où, compte tenu de l’oracle du problème, ils peuvent être ". résolu ".

par conséquent, dans un sens, en reliant tout cela en utilisant ce problème de base d'ADF indécidable, il y aura toujours des problèmes ouverts concernant les ADF, car il y aura toujours des problèmes "ouverts" concernant les ADF (tels que celui-ci) équivalents aux problèmes indécidables. . En fait, en utilisant le théorème de Rices à l'inverse de cette construction, on peut utiliser n'importe quelle propriété de calcul relativement "simple" mais non triviale dans TCS pour construire des problèmes indécidables.

[1] Problèmes de mots nécessitant un temps exponentiel / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR et L. Stockmeyer. Le problème d'équivalence pour les expressions régulières avec quadrature nécessite un espace exponentiel. 13e symposium de l'IEEE sur la théorie des commutateurs et des automates, octobre 1972, p. 125-129.

[3] Introduction aux langages, aux automates et au calcul / Hopcroft / Ullman.