Pour quelles familles de graphiques la géographie généralisée est-elle en ?

Comme @Marzio l'a mentionné, le jeu suivant est connu sous le nom de Géographie généralisée .

Étant donné un graphique et un sommet de départ , le jeu est défini comme suit: $G=(V,E)$ $v \in V$

A chaque tour (alternance de deux joueurs), un joueur choisit $u\in N(v)$ , puis ce qui suit se produit:

$v$ , ainsi que l' ensemble de ses bords, est retiré de $G$ .
$u\to v$ (c'est-à-dire que $v$ est mis à jour pour être le sommet $u$ ).

Le joueur qui est obligé de sélectionner une "impasse" (c'est-à-dire un sommet sans bords sortants) perd.

Dans quelles familles de graphes la stratégie optimale est-elle calculable en temps polynomial?

Par exemple, il est facile de voir que si $G$ est un DAG, alors nous pouvons facilement calculer la stratégie optimale pour les joueurs.

graph-theory graph-algorithms gt.game-theory

— RB
source

Le jeu est connu sous le nom de géographie généralisée et est PSPACE complet (même sur les graphiques dirigés planaires). Voir les jeux Complexity of Path Forming pour certaines variantes (aussi quelques variantes temporelles polynomiales)

— Marzio De Biasi

Peux-tu être plus précis? Par exemple, à partir du lien de Marzio, vous pouvez voir que la largeur d'arbre limitée est suffisante.

— domotorp

@domotorp: Je pense que GG sur les graphes de grille solides non dirigés est un problème ouvert non résolu (peut-être aussi non étudié). Je vais google un peu pour voir si c'est un nouveau problème. Tandis que, dans le cas des graphiques à mailles pleines dirigées, il semble facile de simuler des "trous" en utilisant les arêtes dirigées, il devrait donc être complet avec PSPACE.

— Marzio De Biasi

La géographie généralisée (GG) est complète sur PSPACE même sur les graphes bipartis dirigés planaires, mais, comme indiqué dans:

Hans L. Bodlaender, Complexity of path-making games , Theoretical Computer Science, Volume 110, Numéro 1, 15 mars 1993, Pages 215-245

GG (et quelques autres variantes complètes de PSPACE) sont solubles dans le temps linéaire dans les graphiques de largeur d'arbre bornée.

NOTE LATÉRALE: Tron ( jeu Light Cycles ) est l' une des variantes de la géographie généralisée qui s'est récemment révélée complète pour PSPACE : étant donné un graphique non orienté, deux joueurs choisissent deux sommets de départ différents, puis se relaient, en se déplaçant vers un emplacement adjacent sommet de leur précédent respectif à chaque étape. Le jeu se termine lorsque les deux joueurs ne peuvent plus bouger. Le joueur qui a traversé plus de sommets gagne (il a été supposé être PSPACE-complete en 1990 par Bodlaender et Kloks).
Tillmann Miltzow, Tron, un jeu combinatoire sur les graphes abstraits (2011)

Edit : J'ai fait un petit programme pour tester le jeu sur de petits graphiques à grille solide rectangulaire (non orientés ), et le résultat suggère qu'il est également possible de résoudre le temps polynomial pour cette classe de graphiques (en supposant que le premier nœud choisi par le joueur A est le nœud en haut à gauche): $n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B

Curieusement, la même matrice est obtenue si le joueur A peut choisir un nœud de départ arbitraire.

Comme dit dans les commentaires, je pense que la complexité de décider s'il y a une stratégie gagnante lorsque GG est joué sur des graphiques à grille solide (avec des formes arbitraires, mais sans trous) n'est pas connue et il n'est probablement pas si facile de prouver quelque chose il (en effet le problème - quelque peu connexe - de décider si un graphe de grille solide a un chemin hamiltonien est toujours ouvert, bien que décider si un graphe de grille solide a un cycle hamiltonien est résolu en temps polynomial).

Une dernière remarque triviale: GG est résolvable en temps polynomial également dans les graphiques complets.

— Marzio De Biasi
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Êtes-vous sûr que le cycle hamiltonien dans le graphique à grille solide est résoluble en temps polynomial? Si je me souviens bien, c'est juste inconnu, par contre si cette grille solide a des structures (comme la forme en L, en T, mxn, ...) c'est le temps polynomial résoluble, mais je ne me souviens pas de papier qui le résout en temps polynomial dans les graphiques à grille solide générale. Avez-vous une référence?

— Saeed

@Saeed Il semble que Umans et Lenhart aient résolu le problème ouvert de longue date, voir Hamiltonian Cycles in solid Grid Graphs . Il y a quelques temps, j'ai cherché des résultats récents / connexes sur le chemin hamiltonien sur les graphiques à grille solide, mais je n'ai rien trouvé. (Je pense qu'il y a aussi une question connexe sur cstheory quelque part)

— Marzio De Biasi

Merci, c'est vraiment super et ce n'est pas très nouveau FOCS1997 , mais je ne l'ai jamais vu auparavant!

— Saeed

Grande réponse @MarzioDeBiasi. En fait, je suis tombé sur ce problème dans un cadre différent, qui peut être modélisé sous forme de graphique en grille, mais j'étais également curieux de sa généralisation.

— RB

J'ai passé une demi-heure, mais je n'ai trouvé aucune référence pour la géographie généralisée non dirigée. Je suis sûr que quelqu'un doit avoir démontré que PSPACE est complet. Le savez-vous peut-être?

— domotorp

$1$ $c$ $G-c$ $0$ $c$ $1$

— Saeed
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